प्रायिकता MATHS FOR CLASS 10

MATHS FOR CLASS 10 प्रायिकता

प्रश्नावली 15.1

प्रश्न 1: निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए :

(i) घटना E की प्रायिकता +घटना ‘E नहीं ‘ की प्रायिकता = 1 है।

(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती 0 है। ऐसी घटना असंभव घटना कहलाती है।

(iii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है 1 है। ऐसी घटना निश्चित घटना कहलाती है।

(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।

(v) किसी घटना की प्रायिकता शून्य से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा एक से छोटी या उसके बराबर होती है।

प्रश्न 2: निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम सम्प्रायिक है ? स्पष्ट कीजिए।

(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलना प्रारम्भ हो जाती है या कार

चलना प्रारम्भ नहीं होती है।

उत्तर : जब एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है, तो ज्यादा संभावना कार के चल

जाने की होती है। कार के न चल पाने की संभावना बहुत ही कम होती है। अतः दिया गया

प्रयोग समप्रायिक नहीं है।

(ii) एक खिलाडी बास्केटबॉल को बॉस्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बॉस्केट में

बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।

उत्तर : खिलाडी बास्केटबॉल को बॉस्केट में डाल पाती है या नहीं यह उसकी योग्यता पर

निर्भर करता है। अगर अच्छी खिलाड़ी है तो बॉल के बॉस्केट में जाने की संभावना ज्यादा

होगी और यदि खिलाड़ी बास्केटबॉल में अच्छी नहीं है तो बॉल के बॉस्केट में जाने की

संभावना कम होगी। अतः दिया गया प्रयोग समप्रायिक नहीं है।

(iii) एक सत्य असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।

उत्तर : इस प्रयोग में अनुमान लगाने के केवल दो ही विकल्प है। अतः दोनों के घटित

होने की संभावना समान है ,इसलिए यह प्रयोग समप्रायिक है।

(iv) एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या एक लड़की है।

उत्तर : एक बच्चे के जन्म होने पर उसके लड़का या लड़की होने के संभावना समान है।

अतः दिया गया प्रयोग समप्रायिक है।

प्रश्न 3: फुटबॉल के खेल को प्रारम्भ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौनसी टीम

पहले बॉल लेगी ,इसके लिए सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि क्यों माना जाता है ?

उत्तर : सिक्का उछालने के प्रयोग में प्राप्त संभावित घटनाएँ समप्रायिक होती है अर्थात

चित्त या पट प्राप्त होने के समान अवसर मौजूद होते है। अतः निर्णय लेने की यह निष्पक्ष

व न्यायसंगत विधि है।

प्रश्न 4: निम्नलिखित में से कौनसी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती ?

(A) 2/3 (B) −1.5 (C) 15% (D) 0.7

उत्तर : (B) −1.5

हल: हम जानते है कि किसी प्रयोग में घटना के घटित होने या घटित नहीं होने की

प्रायिकता शून्य हो सकती है पर ऋणात्मक नहीं।

अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 5 : यदि P(E)=0.05 है ,तो ‘E नहीं ‘ की प्रायिकता क्या है ?

हल : हम जानते है कि

P(E)+P(E नहीं) = 1

∴ P(E नहीं) = 1−P(E)

= 1 −0.05

= 0.95

प्रश्न 6 : एक थैले में केवल नींबू के महक वाली गोलियाँ है। मालिनी बिना थैले में झाँके उसमे

से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली

(i) संतरे के महक वाली गोली है ?

(ii) नींबू के महक वाली गोली है ?

हल : (i) ∵ थैले में केवल नींबू के महक वाली गोलियाँ है। अतः मालिनी द्वारा निकाली गई

गोली कभी भी संतरे के महक वाली नहीं हो सकती। इस घटना के घटित होने की सम्भावना

शून्य है।

⇒निकाली गई गोली के संतरे के महक वाली होने की प्रायिकता = 0

(ii) ∵ थैले में केवल नींबू के महक वाली गोलियाँ है। अतः मालिनी द्वारा निकाली गई कोई

भी गोली नींबू के महक वाली ही होगी। इस घटना का घटित होना निश्चित है।

⇒निकाली गई गोली के नींबू के महक वाली होने की प्रायिकता = 1

प्रश्न 7 : यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक

ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का

जन्मदिन एक ही दिन हो ?

हल : माना कि 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता P(E) तथा

जन्मदिन एक ही दिन होने की प्रायिकता P(E’) है।

तब P(E)+P(E’)= 1

∴ P(E’)=1 −P(E)

P(E’)=1 −0.992 =0.008

प्रश्न 8 : एक थैले में 3 लाल व 5 काली गेंदें है। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली

जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद (i) लाल हो ? (ii) लाल नहीं हो ?

हल : थैले में कुल गेंदो की संख्या =3 लाल + 5 काली= 8 गेंद

अतः कुल संभावित परिणामों की संख्या =8

(i) गेंद के लाल होने की घटना के अनुकूल कुल परिणाम (R)=3

$\therefore P(R)=\frac{3}{8}$

(ii) गेंद के लाल न होने की घटना के अनुकूल कुल परिणाम (R’)=8−3 =5

$\therefore P(R')=\frac{5}{8}$

प्रश्न 9 : एक डिब्बे में 5 लाल कंचे ,8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे है। इस डिब्बे में से एक

कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा

(i) लाल है ? (ii) सफेद है ? (iii) हरा नहीं है ?

हल : डिब्बे में कुल कंचों की संख्या =5 लाल +8 सफेद+4 हरे=17 कंचे

अतः कुल संभावित परिणामों की संख्या = 17

(i) कंचे के लाल होने की घटना के अनुकूल कुल परिणाम (R)= 5

$\therefore P(R)=\frac{5}{17}$

(ii) कंचे के सफेद होने की घटना के अनुकूल कुल परिणाम (W)= 8

$\therefore P(W)=\frac{8}{17}$

(iii) कंचे के हरा नहीं होने की घटना के अनुकूल कुल परिणाम (G’)=17−4 =13

$\therefore P(G')=\frac{13}{17}$

प्रश्न 10 : एक पिग्गी बैंक में ,50 पैसे के 100 सिक्के ,₹ 1 के पचास सिक्के ,₹ 2 के बीस

सिक्के और ₹ 5 के दस सिक्के है। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई

एक सिक्का गिरने का परिणाम समप्रायिक है ,तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा

हुआ सिक्का (i) 50 पैसे का होगा ? (ii) ₹ 5 का नहीं होगा ?

हल : चूँकि 50 पैसे के सिक्कों की संख्या =100

₹ 1 के सिक्कों की संख्या =50

2 रु के सिक्कों की संख्या =20

₹ 5 के सिक्कों की संख्या =10

∴ पिग्गी बैंक में कुल सिक्कों की संख्या =100+50+20+10=180

∴ कुल संभावित परिणामों की संख्या = 180

(i) 50 पैसे के सिक्के की घटना घटित होने के अनुकूल परिणामों की संख्या =100

∴ P (50 पैसे के सिक्के) $\dpi{80} =\frac{100}{180}=\frac{5}{9}$

(ii) ∵ ₹ 5 के सिक्कों की संख्या =10

∴ ₹ 5 के सिक्के की घटना घटित नहीं होने के अनुकूल परिणामों की संख्या =180−10=170

∴ P(₹ 5 का सिक्का नहीं) $\dpi{80} =\frac{170}{180}=\frac{17}{18}$

प्रश्न 11 : गोपी अपने जल-जीव कुण्ड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती

है। दुकानदार एक टंकी जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली है , में से एक मछली

यादृच्छया उसे देने के लिए निकालती है (देखिए आकृति )। इसकी क्या प्रायिकता है कि

निकाली गई मछली नर मछली है।

हल : जल-जीव कुण्ड में मछलियों की कुल संख्या =(नर +मादा) मछलियां

=5 +8 =13

∴ कुल संभावित परिणामों की संख्या =13

∴ नर मछली प्राप्त करने की प्रायिकता ⇒

P (नर मछली) = $\frac{5}{13}$

प्रश्न 12 : संयोग (chance) के एक खेल में ,एक तीर को घुमाया जाता है ,जो विश्राम में आने

के बाद संख्याओं 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है

(देखिये आकृति)। यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हो तो इसकी क्या प्रायिकता है कि

यह तीर इंगित –

(i) 8 को करेगा ?

(ii) एक विषम संख्या को करेगा ?

(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा ?

(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा ?

हल : चूँकि पहिए पर अंकित अंको की संख्या आठ है।

अतः कुल संभव परिणामों की संख्या =8

(i) तीर द्वारा संख्या 8 को इंगित करने के अनुकूल परिणामो की संख्या =1

(यहां ध्यान दे कि संख्या 8 पहिए पर केवल एक बार ही लिखी है ,आठ बार नहीं।)

∴ तीर द्वारा संख्या 8 इंगित करने की प्रायिकता = $\frac{1}{8}$

(ii) तीर द्वारा एक विषम संख्या (1,3,5,7) को इंगित करने के अनुकूल परिणामो की संख्या =4

∴ तीर द्वारा एक विषम संख्या इंगित करने की प्रायिकता = $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

(iii) तीर द्वारा 2 से बड़ी संख्या (3,4,5,6,7,8) को इंगित करने के अनुकूल परिणामो की संख्या =6

∴ तीर द्वारा 2 से बड़ी संख्या इंगित करने की प्रायिकता = $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$

(iv) तीर द्वारा 9 से छोटी संख्या (1,2,3,4,5,6,7,8) को इंगित करने के अनुकूल परिणामो की संख्या =8

∴ तीर द्वारा 9 से छोटी संख्या इंगित करने की प्रायिकता = $\frac{8}{8}=1$

प्रश्न 13 : एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता

ज्ञात कीजिए :

(i) एक अभाज्य संख्या

(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या

(iii) एक विषम संख्या

हल : एक पासे को फेंकने पर प्राप्त होने वाले सभी संभव परिणाम

=1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6

अतः कुल संभव परिणामों की संख्या =6

(i) पासे पर अभाज्य संख्या (2 ,3 ,5) प्राप्त होने के अनुकूल परिणामो की संख्या =3

(याद रखें कि 1 ना भाज्य संख्या है और ना ही अभाज्य।)

∴ पासे पर अभाज्य संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

(ii) पासे पर 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या (3,4,5) प्राप्त होने के अनुकूल परिणामो की संख्या =3

∴ पासे पर 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

(iii) पासे पर विषम संख्या (1 ,3 ,5) प्राप्त होने के अनुकूल परिणामो की संख्या =3

∴ पासे पर विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

प्रश्न 14 : 52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेंटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता

है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :

(i) लाल रंग का बादशाह

(ii) एक फेस कार्ड अर्थात एक तस्वीर वाला पत्ता

(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता

(iv) पान का गुलाम

(v) हुकुम का पत्ता

(vi) एक ईंट की बेगम

हल : कुल संभव परिणामों की संख्या =52

(i) लाल रंग का बादशाह होने के अनुकूल परिणामो की संख्या =2

(यहाँ ध्यान दे कि लाल रंग कहा है ,लाल पान नहीं। अतः लाल रंग के दो बादशाह

होंगे ,एक लाल पान का और एक ईंट का।)

अतः लाल रंग का बादशाह प्राप्त होने की प्रायिकता = $\frac{2}{52}=\frac{1}{26}$

(ii) चूँकि फेस कार्ड बादशाह ,बेगम व गुलाम को कहा जाता है और प्रत्येक समूह

(हुकुम ,चिड़ी ,ईंट और लाल पान) में ये मौजूद होते है।

∴ फेस कार्डो की कुल संख्या =3 ×4 =12

∴ एक फेस कार्ड अर्थात एक तस्वीर वाला पत्ता होने के अनुकूल परिणामो की

संख्या =12

अतः एक फेस कार्ड प्राप्त होने की प्रायिकता = $\frac{12}{52}=\frac{3}{13}$

(iii) चूँकि तस्वीर वाला पत्ते बादशाह ,बेगम व गुलाम को कहा जाता है और प्रत्येक

लाल रंग के समूह (ईंट और लाल पान) में ये मौजूद होते है।

∴ लाल रंग के तस्वीर वाले पत्तों की कुल संख्या =3 ×2 =6

∴ एक लाल रंग की तस्वीर वाला पत्ता होने के अनुकूल परिणामो की संख्या =6

अतः एक लाल रंग की तस्वीर वाला पत्ता प्राप्त होने की प्रायिकता = $\frac{6}{52}=\frac{3}{26}$

(iv) पान का गुलाम होने के अनुकूल परिणामो की संख्या =1

∴ पान का गुलाम प्राप्त होने की प्रायिकता = $\frac{1}{52}$

(v) हुकुम का पत्ता होने के अनुकूल परिणामो की संख्या = 13

(क्योंकि ताश की गड्डी में प्रत्येक समूह के 13 पत्ते होते है।)

∴ हुकुम का पत्ता प्राप्त होने की प्रायिकता = $\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$

(vi) एक ईंट की बेगम होने के अनुकूल परिणामो की संख्या = 1

अतः ईंट की बेगम प्राप्त होने की प्रायिकता = $\frac{1}{52}$

प्रश्न 15 : ताश के पाँच पत्तों -ईंट का दहला ,गुलाम ,बेगम ,बादशाह और इक्का -को पलट

करके अच्छी प्रकार फेंटा जाता है। फिर इनमें से यादृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है।

(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है ?

(ii) यदि बेगम निकल आती है ,तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला

जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता (a) एक इक्का है ?

(b) एक बेगम है ?

हल : यहाँ ताश के पाँच पत्तों -ईंट का दहला ,गुलाम ,बेगम ,बादशाह और इक्का

-को पलट करके अच्छी प्रकार फेंटा जाता है।

∴ कुल संभावित परिणामो की संख्या =5

(i) इन पांच पत्तों में बेगम होने के अनुकूल परिणामो की संख्या =1

अतः प्राप्त पत्ते के बेगम होने की प्रायिकता = $\frac{1}{5}$

(ii) अब यदि पाँच पत्तों में से बेगम को अलग रख दिया जाता है ,तो

कुल संभावित परिणामो की संख्या =4

(a) अब इन चार पत्तों में इक्का होने के अनुकूल परिणामो की संख्या =1

अतः दूसरा पत्ता इक्का होने की प्रायिकता = $\frac{1}{4}$

(b) दूसरा पत्ता बेगम होने के अनुकूल परिणामो की संख्या =0

(क्योंकि शेष चार पत्तों में बेगम नहीं है।)

अतः दूसरा पत्ता बेगम होने की प्रायिकता = $\frac{0}{4}=0$

प्रश्न 16: किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए है। केवल देखकर

यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से

एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता

ज्ञात कीजिए।

हल : पेनों की कुल संख्या =12 +132 =144

अतः कुल संभावित परिणामों की संख्या =144

पेन के अच्छे होने के अनुकूल परिणामों की संख्या =132

अतः निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता= $\frac{132}{144}=\frac{11}{12}$

प्रश्न 17:(i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब है। इस समूह में से एक बल्ब

यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा ?

(ii) मान लीजिए कि (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा

बल्बों के साथ मिलाया जाता है। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला

जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा ?

हल : (i) बल्बों की कुल संख्या =20

अतः कुल संभावित परिणामो की संख्या =20

खराब बल्ब होने के अनुकूल परिणामो की संख्या =4

अतः खराब बल्ब प्राप्त होने की प्रायिकता = $\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$

(ii) अब यदि निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही उसे दुबारा बल्बों के साथ

मिलाया गया है ,तब अच्छे बल्बों की संख्या =20 −4 −1 =15

बल्ब के खराब न होने के अनुकूल परिणामो की संख्या =15

तथा खराब बल्बों की संख्या =4

अतः कुल संभावित परिणामो की संख्या =15 +4 =19

अतः खराब बल्ब प्राप्त होने की प्रायिकता = $\frac{4}{19}$

∴ प्राप्त बल्ब के खराब नहीं होने की प्रायिकता = $1-\frac{4}{15}=\frac{15}{19}$

वैकल्पिक विधि :

बल्ब के खराब न होने के अनुकूल परिणामो की संख्या =15

∴ प्राप्त बल्ब के खराब नहीं होने की प्रायिकता = $\frac{15}{19}$

प्रश्न 18 : एक पेटी में 90 डिस्क (discs)है ,जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित

है। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है ,तो इसकी प्रायिकता

ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी : (ii) दो अंको की एक संख्या (ii) एक

पूर्ण वर्ग संख्या (iii) 5 से विभाज्य एक संख्या।

हल : यहाँ डिस्को की कुल संख्या 90 है।

∴ कुल संभावित परिणामो की संख्या =90

(i) 1 से 90 तक की संख्याओं में दो अंको की संख्या 10 से 90 तक होगी ,जिनकी

कुल संख्या 81 है।

अतः डिस्क पर दो अंको की संख्या के अंकित होने के अनुकूल परिणामो की संख्या =81

∴ प्राप्त डिस्क पर दो अंको की संख्या अंकित होने की प्रायिकता = $\frac{81}{90}=\frac{9}{10}$

(ii) 1 से 90 तक की संख्याओं में पूर्ण वर्ग संख्याएँ =1 ,4 ,9 ,16 ,25 ,36 ,49 ,64 ,81

अतः डिस्क पर पूर्ण वर्ग संख्या अंकित होने के अनुकूल परिणामों की संख्या =9

∴ प्राप्त डिस्क पर पूर्ण वर्ग संख्या अंकित होने की प्रायिकता = $\frac{9}{90}=\frac{1}{10}$

(iii) 1 से 90 तक की संख्याओं में 5 से विभाज्य संख्याएँ =5 ,10 ,15 ,20 ,….,90

अतः डिस्क पर 5 से विभाज्य संख्या अंकित होने के अनुकूल परिणामों की संख्या =18

∴ प्राप्त डिस्क पर 5 से विभाज्य संख्या होने की प्रायिकता = $\frac{18}{90}=\frac{1}{5}$

प्रश्न 19 : एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलको पर निम्नलिखित अक्षर

अंकित है :

इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि :

(i) A प्राप्त हो ? (ii) D प्राप्त हो ?

हल : पासे में फलकों की संख्या 6 है।

∴ कुल संभावित परिणामो की संख्या =6

(i) पासे पर अक्षर A के अनुकूल परिणामो की संख्या=2

∴ A प्राप्त होने की प्रायिकता = $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

(ii) पासे पर अक्षर D के अनुकूल परिणामो की संख्या= 1

∴ D प्राप्त होने की प्रायिकता = $\frac{1}{6}$

प्रश्न 20 : मान लीजिए आप एक पासे को आकृति में दर्शाए आयताकार क्षेत्र में

यादृच्छया रुप से गिराते है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1 m व्यास

वाले वृत के अंदर गिरेगा ?

हल :दिए गए आयत का क्षेत्रफल =3m ×2m =6 m²

अतः पासे को गिरने के लिए कुल संभावित क्षेत्र =6 m²

पुनः 1 m व्यास वाले वृत की त्रिज्या =½ m

अतः वृत का क्षेत्रफल =π ½m ×½m = $\frac{\pi }{4}m^{2}$

अतः पासे को 1 m व्यास वाले वृत के अंदर गिरने के अनुकूल उपलब्ध क्षेत्र = $\frac{\pi }{4}m^{2}$

∴ पासे को 1 m व्यास वाले वृत के अंदर गिरने की प्रायिकता = $\frac{\frac{\pi }{4}m^{2}}{6 m^{2}}=\frac{\pi }{24}$

प्रश्न 21 : 144 बॉल पेनों के एक समूह में 20 बॉल पेन खराब है और शेष अच्छे है।

आप वही पेन खरीदना चाहेंगे जो अच्छा हो ,परन्तु खराब पेन आप खरीदना नहीं

चाहेंगे। दुकानदार इन पेनों में से , यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है।

इसकी क्या प्रायिकता है कि

(i) आप वह पेन खरीदेंगे ?

(ii) आप वह पेन नहीं खरीदेंगे ?

हल : बॉल पेनों की कुल संख्या 144 है।

∴ कुल संभावित परिणामो की संख्या =144

(i) हम वही पेन खरीदेंगे जो अच्छे है।

तथा अच्छे पेनों की संख्या =144 −20 =124

∴ अच्छे पेन होने के लिए संभावित परिणामो की संख्या =124

अतः अच्छे पेन प्राप्त होने की प्रायिकता = $\frac{124}{144}=\frac{31}{36}$

(ii) चूँकि हम खराब पेनो को नहीं खरीदेंगे।

∴ खराब पेन होने के लिए संभावित परिणामो की संख्या = 20

अतः खराब पेन प्राप्त होने की प्रायिकता = $\frac{20}{144}=\frac{5}{36}$

प्रश्न 22 : (उदाहरण 13 को देखिये।) एक स्लेटी और एक नीले पासे को एक साथ

फेंका जाता है।

(i) निम्न सारणी को पूरा कीजिए :

घटना दोनों पासों की संख्याओं का योग	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
प्रायिकता	$\frac{1}{36}$						$\frac{5}{36}$				$\frac{1}{36}$

(ii) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि ‘यहाँ कुल 11 परिणाम 2,3,4,5,6,7,8,9,10,

11 और 12 है। अतः प्रत्येक की प्रायिकता $\small \frac{1}{11}$ है। ‘क्या आप इस तर्क से सहमत है ?

सकारण उत्तर दीजिए।

हल : दो पासो को एक साथ फेंकने पर निम्न परिणाम प्राप्त हो सकते है –

(सारणी में लाल रंग से दोनों पासो की संख्याओं का योग दर्शाया गया है।)

स्लेटी पासा ⇒ नीला पासा ⇓	1	2	3	4	5	6
1	1,1(=2)	2,1(=3)	3,1(=4)	4,1(=5)	5,1(=6)	6,1(=7)
2	1,2(=3)	2,2(=4)	3,2(=5)	4,2(=6)	5,2(=7)	6,2(=8)
3	1,3(=4)	2,3(=5)	3,3(=6)	4,3(=7)	5,3(=8)	6,3(=9)
4	1,4(=5)	2,4(=6)	3,4(=7)	4,4(=8)	5,4(=9)	6,4(=10)
5	1,5(=6)	2,5(=7)	3,5(=8)	4,5(=9)	5,5(=10)	6,5(=11)
6	1,6(=7)	2,6(=8)	3,6(=9)	4,6(=10)	5,6(=11)	6,6(=12)

उपरोक्त सारणी से स्पष्ट है कि कुल संभावित परिणामों की संख्या =36

अतः दी गई सारणी निम्नानुसार होगी –

घटना दोनों पासों की संख्याओं का योग	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
प्रायिकता	$\frac{1}{36}$	$\small \frac{2}{36}$	$\small \frac{3}{36}$	$\small \frac{4}{36}$	$\small \frac{5}{36}$	$\small \frac{6}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\small \frac{4}{36}$	$\small \frac{3}{36}$	$\small \frac{2}{36}$	$\frac{1}{36}$

(ii) विद्यार्थी का तर्क गलत है। क्योंकि उपरोक्त सारणी से स्पष्ट है कि कुल परिणामों

की संख्या 36 है ना कि 11 ,हाँ 11 प्रकार के योग जरुर प्राप्त हो रहे है परन्तु ये प्रारंभिक

घटनाएँ नहीं है।साथ ही प्रत्येक घटना की प्रायिकता भी भिन्न भिन्न है। अतः विद्यार्थी का

तर्क पूर्णतः असंगत है।

प्रश्न 23 : एक खेल में एक रुपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक

बार का परिणाम लिख लिया जाता है। तीनो परिणाम समान होने पर ,अर्थात तीन

चित्त या तीन पट प्राप्त होने पर ,हनीफ खेल में जीत जाएगा ,अन्यथा वह हार जाएगा।

हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकलित कीजिए।

हल : सिक्के को तीन बार उछालने पर कुल संभावित परिणाम निम्नानुसार होंगे –

(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,T,T),(T,T,H),(T,H,T),(T,H,H)

जहाँ चित्त को H द्वारा व पट को T द्वारा दर्शाया गया है।

अतः कुल संभावित परिणामों की संख्या =8

इन परिणामों में केवल दो परिणाम[(H,H,H),(T,T,T)] ही ऐसे है जिनमे तीनों

बार H या T प्राप्त हुआ है। बाकि के 6 परिणाम [(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),

(T,T,H),(T,H,T),(T,H,H)]आने से हनीफ हार जाएगा।

अतः हनीफ के हार के अनुकूल परिणामो की संख्या =6

∴ हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता= $\small \frac{6}{8}=\frac{3}{4}$

प्रश्न 24 : एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि

(i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा ? (ii) 5 कम से कम एक बार आएगा ?

[ संकेत : एक पासे को दो बार फेंकना और दो पासो को एक साथ फेंकना

एक ही प्रयोग माना जाता है। ]

हल : एक पासे को दो बार फेंकने पर निम्न परिणाम प्राप्त होते है –

पहली फेंक ⇒ दूसरी फेंक ⇓	1	2	3	4	5	6
1	1,1	2,1	3,1	4,1	5,1	6,1
2	1,2	2,2	3,2	4,2	5,2	6,2
3	1,3	2,3	3,3	4,3	5,3	6,3
4	1,4	2,4	3,4	4,4	5,4	6,4
5	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5
6	1,6	2,6	3,6	4,6	5,6	6,6

उपरोक्त सारणी से स्पष्ट है कि कुल संभावित परिणामों की संख्या =36

ऐसे परिणामो की संख्या जिनमें 5 आता है =11 (सारणी में हरे रंग को देखें)

∴ वे परिणाम जिनमें 5 एक बार भी नहीं आता है =36−11=25

(i) कुल संभावित परिणामों की संख्या =36

5 किसी भी बार में नहीं आने के अनुकूल परिणामों की संख्या =25

∴ 5 किसी भी बार में नहीं आने की प्रायिकता = $\small \frac{25}{36}$

(ii) कुल संभावित परिणामों की संख्या =36

5 कम से कम एक बार आने के अनुकूल परिणामो की संख्या =11

∴ 5 कम से कम एक बार आने की प्रायिकता = $\small \frac{11}{36}$

प्रश्न 25: निम्नलिखित में से कौन से तर्क सत्य है और कौन से तर्क असत्य है ?

सकारण उत्तर दीजिए।

(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है ,तो इसके तीन संभावित

परिणाम -दो चित्त ,दो पट या प्रत्येक एक बार है। अतः इनमें से प्रत्येक परिणाम

की प्रायिकता 1/3 है।

(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है ,तो इसके दो संभावित परिणाम -एक विषम

संख्या या एक सम संख्या है। अतः एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता ½ है।

हल :(i) दिया गया तर्क असत्य है।

कारण : दो सिक्कों को एक साथ उछालने पर निम्न 4 परिणाम प्राप्त होते है –

(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)

जहाँ चित्त को H द्वारा व पट को T द्वारा दर्शाया गया है।

दो चित्त होने की प्रायिकता = $\small \frac{1}{4}$

दो पट होने की प्रायिकता = $\small \frac{1}{4}$

एक चित्त व एक पट होने की प्रायिकता = $\small \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

(ii) दिया गया तर्क सत्य है।

कारण : पासा फेंकने पर कुल प्राप्त संभावित परिणाम =6

(1,2,3,4,5,6)

सम संख्या आने के अनुकूल परिणाम =(2,4,6)

∴ सम संख्या आने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3

∴ सम संख्या आने की प्रायिकता = $\small \frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

विषम संख्या आने के अनुकूल परिणाम =(1,3,5)

∴ विषम संख्या आने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3

∴ विषम संख्या आने की प्रायिकता = $\small \frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

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