NCERT MATHS FOR CLASS 10th CHAPTER 2-(2.3)

NCERT MATHS FOR CLASS 10th

CHAPTER-2 (POLYNOMIAL) बहुपद

प्रश्नावली 2.3

प्रश्न 1: विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके , निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :

(i) p(x) = x³ −3x² +5x −3 , g(x) = x² −2

(ii) p(x) = x⁴ −3x² +4x +5 , g(x) = x² +1 −x

(iii) p(x) = x⁴ −5x +6 , g(x) =2 − x²

हल: (i) p(x) = x³ −3x² +5x −3 , g(x) = x² −2

∴ भागफल = x−3 व शेषफल = 7x −9

हल: (ii) p(x) = x⁴ −3x² +4x +5 , g(x) = x² +1 −x

∴ भागफल =x²+x−3 व शेषफल = 8

हल: (iii) p(x) = x⁴ −5x +6 , g(x) =2 − x²

∴ भागफल = −x²−2 व शेषफल = −5x +10

प्रश्न 2: पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड है :

(i) t² −3 , 2t⁴+3t³− 2t²−9t −12

(ii) x²+ 3x +1 , 3x⁴ +5x³ −7x² +2x +2

(iii) x³ −3x +1 , x⁵ −4x³ +x² +3x +1

(इन प्रश्नो को हल करने के लिए आपको प्रथम बहुपद का द्वितीय बहुपद में भाग देना है।

अगर शेषफल शून्य आए तो प्रथम बहुपद दूसरे बहुपद का गुणनखंड है ,अन्यथा नहीं है।)

हल: (i) t² −3 , 2t⁴+3t³− 2t²−9t −12

चूँकि यहां शेषफल =0

∴ t² −3 , 2t⁴+3t³− 2t²−9t −12 का एक गुणनखंड है।

हल: (ii) x²+ 3x +1 , 3x⁴ +5x³ −7x² +2x +2

चूँकि यहां शेषफल =0

∴ x²+ 3x +1 , 3x⁴ +5x³ −7x² +2x +2 का एक गुणनखंड है।

हल: x³ −3x +1 , x⁵ −4x³ +x² +3x +1

चूँकि यहां शेषफल = 2

∴ x³ −3x +1 , x⁵ −4x³ +x² +3x +1 का एक गुणनखंड नहीं है।

प्रश्न 3: 3x⁴ +6x³ −2x² −10x −5 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए , यदि इसके दो शून्यक $\sqrt{\frac{5}{3}}$ और $-\sqrt{\frac{5}{3}}$ है।

हल: चूँकि 3x⁴ +6x³ −2x² −10x −5 के दो शून्यक $\sqrt{\frac{5}{3}}$ और $-\sqrt{\frac{5}{3}}$ है।

∴ x = $\sqrt{\frac{5}{3}}$ और x = $-\sqrt{\frac{5}{3}}$ है।

√3x = √5 और √3x = −√5

या √3x − √5 = 0 और √3x + √5 = 0

(√3x − √5)(√3x + √5) = 0

(सूत्र (a+b)(a-b) = a² −b² से)

(√3x)²− (√5)² = 0

3x² − 5 = 0

यहां 3x² − 5 , 3x⁴ +6x³ −2x² −10x −5 का एक गुणनखंड है।

∴ 3x² − 5 का 3x⁴ +6x³ −2x² −10x −5 में भाग देने पर

∴ 3x⁴ +6x³ −2x² −10x −5 = (3x² − 5)(x² +2x+1)

या 3x⁴ +6x³ −2x² −10x −5 = (√3x − √5)(√3x + √5)(x +1)²

∴ दिए गए बहुपद के सभी शून्यक $\sqrt{\frac{5}{3}}$ , $-\sqrt{\frac{5}{3}}$ , -1 व -1 है।

प्रश्न 4: यदि x³ −3x² +x +2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमशः x −2 और −2x+4 है

तो g(x) ज्ञातकीजिए।

हल: प्रश्नानुसार

p(x) = x³ −3x² +x +2 , (भाज्य)

g(x) = ? (भाजक)

q(x) = x −2 (भागफल)

r(x) = −2x+4 (शेषफल)

विभाजन एल्गोरिथ्म से हम जानते है कि

p(x) = g(x) × q(x) + r(x)

(भाज्य =भाजक ×भागफल +शेषफल )

उपरोक्त सभी मान रखने पर

x³ −3x² +x +2 = g(x) ×(x −2) + (−2x +4)

या x³ −3x² +x +2 +2x −4 = g(x) ×(x −2)

x³ −3x² +3x −2 = g(x) ×(x −2)

∴ g(x) = $\frac{x^{3}-3x^{2} +3x-2}{x-2}$

(आप इसे भाग करके भी हल कर सकते है या गुणनखंड करके भी हल कर सकते है। )

गुणनखंड द्वारा हल⇒

g(x) = $\frac{\left ( x-2 \right )\left ( x^{2}-x+1 \right )}{\left ( x-2 \right )}$

∴ g(x) = x²−x+1

भाग द्वारा हल⇒

∴ g(x) = x²−x+1

प्रश्न 5: बहुपदोंp(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को संतुष्ट करते हो तथा

(i) घात p(x) = घात q(x)

(ii) घात q(x) = घात r(x)

(iii) घात r(x) = 0

हल: (i) घात p(x) = घात q(x)

विभाजन एल्गोरिथ्म से हम जानते है कि

p(x) = g(x) × q(x) + r(x)

(भाज्य =भाजक ×भागफल +शेषफल )

भाज्य p(x) व भागफल q(x) की घात तभी बराबर हो सकती है ,जब भाजक g(x) का मान एक अचर राशि (अर्थात एक संख्या) हो।

∴ऐसा एक उदाहरण निम्नानुसार हो सकता है –

p(x)=5x² +10x +1

g(x) = 5

q(x) = x² +2x

r(x) = 1

यहां घात p(x) = घात q(x) है तथा

विभाजन एल्गोरिथ्म p(x) = g(x) × q(x) + r(x) भी संतुष्ट होता है।

हल: (ii) घात q(x) = घात r(x)

p(x) = x³ −3x² +5x −3 ,

g(x) = x² −2

q(x) = x−3

r(x) = 7x −9

यहां घात q(x) = घात r(x) है तथा

विभाजन एल्गोरिथ्म p(x) = g(x) × q(x) + r(x) भी संतुष्ट होता है।

हल: (iii) घात r(x) = 0

p(x) = x⁵ −4x³ +x² +3x +1

g(x) =x³ −3x +1

q(x) = x² −1

r(x) = 2

यहां घात r(x) = 0 है तथा

(ध्यान रहे यहां r(x) का मान 0 होना आवश्यक नहीं है r(x) की घात 0 होनी चाहिए। अर्थात r(x) के मान में x नहीं आना चाहिए।)

विभाजन एल्गोरिथ्म p(x) = g(x) × q(x) + r(x) भी संतुष्ट होता है।

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