NCERT MATHS CLASS 10
CHAPTER-4 द्विघात समीकरण
प्रश्नावली 4.4
प्रश्न 1: निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व
हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए :
(i) 2x2−3x+5=0
हल: दी गई द्विघात समीकरण की तुलना ax2+bx+c=0 से करने पर
a=2 ,b=−3 ,c=5
∴ विविक्तकर (Discriminant)
b2 −4ac =(−3)2−4(2)(5)
=9−40 =−31<0
अतः दिए गए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं है।
प्रश्न 1: (ii) 3x2−4√3x+4=0
हल: दी गई द्विघात समीकरण की तुलना ax2+bx+c=0 से करने पर
a=3 ,b=−4√3 ,c=4
∴ विविक्तकर (Discriminant)
b2 −4ac =(−4√3)2−4(3)(4)
= 48−48=0
∴ दिए गए द्विघात समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल है।
अतः द्विघाती सूत्र से
(क्योंकि b2 −4ac=0 )
इस प्रकार दिए गए द्विघात समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल है-
प्रश्न 1: (iii) 2x2−6x+3=0
हल: दी गई द्विघात समीकरण की तुलना ax2+bx+c=0 से करने पर
a=2 ,b=−6 ,c=3
∴ विविक्तकर (Discriminant)
b2 −4ac =(−6)2−4(2)(3)
=36−24 =12>0
∴ दिए गए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल है।
अतः द्विघाती सूत्र से
(क्योंकि b2 −4ac=12)
इस प्रकार दिए गए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल निम्न है-
प्रश्न 2: निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हो।
(i) 2x2+kx+3=0
हल: दी गई द्विघात समीकरण की तुलना ax2+bx+c=0 से करने पर
a=2 ,b=k ,c=3
हम जानते है कि किसी द्विघात समीकरण के दो बराबर मूल होते है ,जब
b2 −4ac = 0
(k)2 −4(2)(3)=0
k2 =24
k=√24
∴ k=2√6
प्रश्न 2: (ii) kx(x−2)+6=0
हल: kx2−2kx+6=0
इस द्विघात समीकरण की तुलना ax2+bx+c=0 से करने पर
a=k ,b=−2k ,c=6
हम जानते है कि किसी द्विघात समीकरण के दो बराबर मूल होते है ,जब
b2 −4ac = 0
(−2k)2 −4(k)(6)=0
4k2 −24k=0
4k(k−6)=0
यहां या तो 4k=0 या (k−6)=0
या तो k=0 या k=6
प्रश्न 3: क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना सम्भव है जिसकी लम्बाई ,चौड़ाई से दुगुनी
हो और उसका क्षेत्रफल 800 m2 हो ? यदि है ,तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल: माना कि आम की बगिया की चौड़ाई x मीटर है।
तब प्रश्नानुसार लम्बाई 2x मीटर होगी।
पुनः प्रश्नानुसार ,
लम्बाई×चौड़ाई =800
2x × x =800
2x2 −800 =0
या x2 −400 =0 …(1)
इस द्विघात समीकरण की तुलना ax2+bx+c=0 से करने पर
a=1 ,b=0 ,c=−400
∴ विविक्तकर (Discriminant)
b2 −4ac =(0)2−4(1)(−400)
=1600 > 0
अतः दिए गए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल है।
अर्थात दी गई स्थिति के लिए आम की बगिया बनाना सम्भव है।
अब समी.(1) से
x2 −(20)2 =0
(x+20)(x−20)=0 [a2− b2 =(a+b)(a-b) से]
यहां या तो x+20=0 या x−20=0
या तो x=−20 या x=20
परन्तु चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।
∴ बगिया की चौड़ाई (x)=20 मीटर
तथा लम्बाई (2x) =2×20 =40 मीटर होगी।
प्रश्न 4: क्या निम्न स्थिति सम्भव है ? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षो में) का गुणनफल 48 था।
हल: माना कि एक मित्र की आयु x वर्ष है।
तब प्रश्नानुसार दूसरे मित्र की आयु (20−x) वर्ष होगी।
अब चार वर्ष पूर्व
पहले मित्र की आयु =(x−4) वर्ष
दूसरे मित्र की आयु =(20−x-4) या (16−x) वर्ष
∴ प्रश्नानुसार ,
(x−4)(16−x)=48
16x−x2−64+4x=48
−x2+20x−64=48
x2−20x+64+48=0
या x2−20x+112=0
इस द्विघात समीकरण की तुलना ax2+bx+c=0 से करने पर
a=1 ,b=−20 ,c=112
∴ विविक्तकर (Discriminant)
b2 −4ac =(-20)2−4(1)(112)
=400−448 =−48 < 0
अतः दिए गए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं है।
अर्थात दी गई स्थिति सम्भव नहीं है।
प्रश्न 5: क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400 m2 के एक पार्क को बनाना सम्भव है ? यदि
है ,तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल: माना कि पार्क की लम्बाई x मीटर है।
हम जानते है कि परिमाप =2×(लम्बाई+चौड़ाई)
∴ 80 =2 (x+चौड़ाई)
या x+चौड़ाई =80/2 =40
∴ चौड़ाई =(40−x) मीटर
अब प्रश्नानुसार ,क्षेत्रफल =400 m2
लम्बाई×चौड़ाई =400
x (40−x)=400
40x−x2 =400
x2 −40x+400=0 …(1)
इस द्विघात समीकरण की तुलना ax2+bx+c=0 से करने पर
a=1 ,b=−40 ,c=400
∴ विविक्तकर (Discriminant)
b2 −4ac =(-40)2−4(1)(400)
=1600-1600=0
अतः द्विघात समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल है।
अर्थात दी गई स्थिति के लिए पार्क बनाना सम्भव है।
अब समी.(1) से
x2 −2(x)(20)+(20)2 =0
(x−20)2 =0 [a2 −2ab+b2 =(a−b)2 से]
(x−20)(x−20)=0
यहां या तो x−20=0 या x−20=0
या तो x=20 या x=20
अतः दिए गए पार्क की लम्बाई (x)=20मीटर
तथा चौड़ाई (40−x)=(40−20)=20 मीटर होगी।
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