NCERT MATHS FOR CLASS 10
CHAPTER-5 समान्तर श्रेढ़ियाँ
प्रश्नावली 5.2
प्रश्न 1: निम्नलिखित सारणी में ,रिक्त स्थानों को भरिए ,जहां A.P. का प्रथम पद a ,
सार्व अंतर d और nवाँ पद an है :
| a | d | n | an | |
| (i) | 7 | 3 | 8 | 28 |
| (ii) | −18 | 2 | 10 | 0 |
| (iii) | 46 | −3 | 18 | −5 |
| (iv) | −18.9 | 2.5 | 10 | 3.6 |
| (v) | 3.5 | 0 | 105 | 3.5 |
प्रश्न 1: (i) हल : दिया है
a=7, d=3, n=8, an=?
∴ सूत्र an=a+(n−1)d से
an= 7+(8−1)×3
=7+7×3
=7+21
∴an= 28
प्रश्न 1: (ii) हल : दिया है
a=−18, d=?, n=10, an=0
∴ सूत्र an=a+(n−1)d से
0 = −18+(10−1)d
18 =9d
∴ d=18/9 =2
प्रश्न 1: (iii) हल : दिया है
a=?, d=−3, n=18, an=−5
∴ सूत्र an=a+(n−1)d से
−5= a+(18−1)(−3)
या −5= a+(17)(−3)
−5= a−51
∴ a= 51−5 =46
प्रश्न 1: (iv) हल : दिया है
a=−18.9, d=2.5, n=?, an=3.6
∴ सूत्र an=a+(n−1)d से
3.6 =−18.9+(n−1)×2.5
3.6+18.9=(n−1)×2.5
22.5 =(n−1)×2.5
∴ n =9 +1=10
प्रश्न 1: (v) हल : दिया है
a=3.5, d=0, n=105, an=?
∴ सूत्र an=a+(n−1)d से
an=3.5+(105−1)×0
=3.5+0
∴an= 3.5
प्रश्न 2: निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए :
(i) A.P.: 10 ,7 ,4…., का 30वाँ पद है :
(A) 97 (B) 77 (C) −77 (D) −87
सही उत्तर (C) है।
औचित्य – दी गई A.P. में
a=10 , d=7−10=−3
n=30 , a30=?
∴ सूत्र an=a+(n−1)d से
a30=10+(30−1)(−3)
=10+(29)(−3)=10−87
∴ a30=−77
प्रश्न 2: (ii) A.P.:−3 ,−½ ,2,…., का 11वाँ पद है :
(A) 28 (B) 22 (C) −38 (D)
सही उत्तर (B) है।
औचित्य – दी गई A.P. में
a=−3 , d=−½−(−3)=−½+3=5/2
n=11 , a11=?
∴ सूत्र an=a+(n−1)d से
a11=−3+25 =22
प्रश्न 3: निम्नलिखित समान्तर श्रेढियों में ,रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए :
(i) 2 , ⬜ , 26
हल: प्रश्नानुसार ,
a=2 …(1)
a2 = ?
a3=26
या a+2d=26 (कैसे?) …(2)
(मानक समान्तर श्रेढ़ी ⇒a, a+d, a+2d, a+3d, ….
यहां तीसरे पद यानि a3 को कैसे लिखा गया है?)
समी.(1) से a का मान समी.(2) में रखने पर
2+2d=26
2d=26−2=24
∴ d= 24/2=12
अतः a2=a+d से
a2=2+12=14
अतः दी गई A.P. का दूसरा पद 14 है।
प्रश्न 3: (ii) ⬜ , 13 , ⬜ , 3
हल: प्रश्नानुसार ,
a=?
a2 =a+d= 13 ….(1)
a3=a+2d=?
a4=a+3d=3 ….(2)
समी.(2) में से समी.(1) को घटाने पर
∴ d =-10/2=−5
d=−5 समी.(1) में रखने पर
a+(−5)=13
a=13+5 =18
तथा a3=a+2d=18+2(−5)
a3=18−10 =8
अतः दी गई A.P. का पहला पद (a) 18 व तीसरा पद (a3) 8 है।
प्रश्न 3: (iii) 5 , ⬜ , ⬜ ,
हल: प्रश्नानुसार ,
a=5 …(1)
a2=a+d=? …(2)
a3=a+2d=? …(3)
a4=a+3d= …(4)
समी.(1) से a का मान समी.(4) में रखने पर
5+3d=
∴
a व d के मान समी.(2) में रखने पर
a व d के मान समी.(3) में रखने पर
अतः दी गई A.P. का दूसरा पद व तीसरा पद 8 है।
प्रश्न 3: (iv) −4, ⬜, ⬜, ⬜, ⬜, 6
हल: प्रश्नानुसार ,
a=−4 …(1)
a2=a+d=? …(2)
a3=a+2d=? …(3)
a4=a+3d=? …(4)
a5=a+4d=? …(5)
a6=a+5d=6 …(6)
समी.(1) से a का मान समी.(6) में रखने पर
−4+5d= 6
5d=6+4=10
a व d के मान समी.(2) में रखने पर
a2=−4+2=−2
a व d के मान समी.(3) में रखने पर
a3=−4+2(2)=−4+4=0
a व d के मान समी.(4) में रखने पर
a4=−4+3(2)=−4+6=2
a व d के मान समी.(5) में रखने पर
a5=−4+4(2)=−4+8=4
अतः दी गई A.P. का दूसरा पद −2, तीसरा पद 0, चौथा पद 2 व पांचवा पद 4 है।
प्रश्न 3: (v) ⬜, 38, ⬜, ⬜, ⬜, −22
हल: प्रश्नानुसार ,
a=? …(1)
a2=a+d=38…(2)
a3=a+2d=? …(3)
a4=a+3d=? …(4)
a5=a+4d=? …(5)
a6=a+5d=−22 …(6)
समी.(6) में से समी.(2) को घटाने पर
d=−15 समी.(2) में रखने पर
a+(-15)=38
∴ a=38+15=53
a व d के मान समी.(3) में रखने पर
a3=53+2(-15)=53−30=23
a व d के मान समी.(4) में रखने पर
a4=53+3(-15)=53−45=8
a व d के मान समी.(5) में रखने पर
a5=53+4(-15)=53−60=−7
अतः दी गई A.P. का पहला पद 53, तीसरा पद23, चौथा पद 8 व पांचवा पद−7 है।
प्रश्न 4: A.P.: 3, 8, 13, 18,…. का कौन सा पद 78 है ?
हल: माना कि nवाँ पद 78 है।
अब दी गई A.P. से
a=3, d =8−3 =5
n=?, an =78 (हमने माना है।)
∴ सूत्र an=a+(n−1)d से
78= 3+(n−1)(5)
या 78−3= (n−1)(5)
∴ n=15+1 =16
अतः दी गई A.P. का 16वाँ पद 78 है।
प्रश्न 5: निम्नलिखित समान्तर श्रेढियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद है ?
(i) 7, 13, 19, …., 205
हल: माना कि दी गई A.P. में n पद है।
तब a=7, d=13−7 =6
an=205, n=?
∴ सूत्र an=a+(n−1)d से
205= 7+(n−1)(6)
या 205−7= (n−1)(6)
∴ n=33+1 =34
अतः दी गई A.P. में 34 पद है।
प्रश्न 5:
हल: माना कि दी गई A.P. में n पद है।
तब a=18 , an=−47 , n=?
तथा
∴ सूत्र an=a+(n−1)d से
−47=18+(n−1)(−5/2)
या −47−18= (n−1)(−5/2)
26=n−1
∴ n=26+1 =27
अतः दी गई A.P. में 27 पद है।
प्रश्न 6: क्या A.P. 11, 8, 5, 2, ….का एक पद −150 है ? क्यों ?
हल: माना कि nवाँ पद −150 है।
अब दी गई A.P. से
a=11, d =8−11 =−3
n=?, an =−150 (हमने माना है।)
∴ सूत्र an=a+(n−1)d से
−150=11+(n−1)(−3)
या −150−11= (n−1)(−3)
n =53.67+1 =54.67
यहां n का मान एक पूर्ण संख्या नहीं है।
अर्थात दी गई A.P. में कोई भी ऐसा पद सम्भव नहीं है जिसका मान −150 हो।
प्रश्न 7: उस A.P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।
हल: दिया है –
a11=a+10d=38 …(1)
a16=a+15d=73 …(2)
a31=a+30d=? …(3)
(आपको जिस भी पद का सूत्र चाहिए उस पद का संख्यात्मक मान सूत्र
an=a+(n−1)d में n की जगह रखिये जैसे 11वें पद के लिए n=11 रखें।)
समी.(2) में से समी.(1) को घटाने पर
d =7 समी. (1) में रखने पर
a+10(7)=38
∴ a=38−70 =−32
a व d के मान समी. (3) में रखने पर
a31=−32+30(7) =−32+210
∴ a31= 178
अतः A.P. का 31वाँ पद 178 होगा।
प्रश्न 8 एक A.P. में 50 पद है ,जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ
पद ज्ञात कीजिए।
हल: दिया है –
n=50,
a3=a+2d=12 …(1)
a50=a+49d=106 …(2)
a29=a+28d=? …(3)
समी.(2) में से समी.(1) को घटाने पर
d=2 समी. (1) में रखने पर
a+2(2)=12
∴ a=12−4=8
a व d के मान समी. (3) में रखने पर
a29=8+28(2)=8+56
∴ a29=64
अतः A.P. का 29वाँ पद 64 होगा।
प्रश्न 9: यदि किसी A.P.के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और −8 है ,तो इसका कौनसा
पद शून्य होगा ?
हल: माना कि A.P. का nवाँ पद शून्य है।
तब प्रश्नानुसार
a3 =a+2d=4 …(1)
a9 =a+8d=−8 …(2)
an =a+(n−1)d=0 …(3)
समी.(2) में से समी.(1) को घटाने पर
d=−2 समी. (1) में रखने पर
a+2(−2)=4
∴ a=4+4=8
a व d के मान समी. (3) में रखने पर
8+(n−1)(−2)=0
∴ n=4+1 =5
अतः A.P. का 5वाँ पद शून्य है।
प्रश्न 10: किसी A.P.का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
हल: हम जानते है कि
a17 =a+16d …(1)
तथा a10 =a+9d …(2)
अब प्रश्नानुसार ,
a17 = a10 +7 (कैसे ?)
(क्योंकि अगर 17वाँ पद, 10वें पद से 7 अधिक है, तो 10वें पद में 7 जोड़ने पर दोनों पद बराबर हो जाएंगे।)
a+16d =a+9d+7 (समी.(1) व समी.(2) से)
16d−9d =7
7d=7
∴ d= 7/7=1
अतः दी गई A.P. का सार्व अंतर 1 है।
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प्रश्न 11: A.P. : 3 ,15 ,27 ,39 ,… का कौनसा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा ?
हल: माना कि nवाँ पद 54वें पद से 132 अधिक है।
अर्थात an=a54+132
या a+(n−1)d=a+53d+132 (a54=a+53d से)
(n−1)d=53d+132
अब दी गई A.P. से
d=15−3=12
d का मान समी.(1) में रखने पर
(n−1)(12)=53(12)+132=636+132
या (n−1)(12)=768
∴ n=64+1=65
अतः दी गई A.P. का 65वाँ पद 54वें पद से 132 अधिक है।
प्रश्न 12: दो समान्तर श्रेढियों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अंतर
100 है ,तो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा ?
हल: माना कि पहली A.P. का पहला पद a तथा सार्व अंतर d है।
तथा दूसरी A.P. का पहला पद b तथा सार्व अंतर d है।
(प्रश्नानुसार दोनों समान्तर श्रेढियों के सार्व अंतर समान है इसीलिए दोनों श्रेढियों में d माना है।)
∴ पहली A.P. का 100वाँ पद =a+99d
तथा दूसरी A.P. का 100वाँ पद =b+99d
अब प्रश्नानुसार,
(a+99d)−(b+99d) =100
a−b =100 …(1)
पुनः पहली A.P. का 1000वाँ पद =a+999d
तथा दूसरी A.P. का 1000वाँ पद =b+999d
(a+999d)−(b+999d)
=a-b=100 [समी.(1) से ]
अर्थात दोनों समान्तर श्रेढियों के 1000वें पदों का अंतर भी 100 होगा।
प्रश्न 13: तीन अंको वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य है ?
हल: हम जानते है कि तीन अंको की संख्या 100 से शुरु होकर 999 पर खत्म होती है।
अतः हमे इन संख्याओं के बीच की ऐसी संख्याएँ लेनी है जो 7 से विभाज्य हो।
तब प्राप्त A.P. निम्नानुसार होगी –
105, 112, 119,….994
यहां a=105, d=7, an=994
∴ सूत्र an=a+(n−1)d से
994=105+(n−1)(7)
या 994−105= (n−1)(7)
889=(n−1)(7)
∴ n =127+1 =128
अतः तीन अंको वाली 128 संख्याएँ 7 से विभाज्य है।
प्रश्न 14: 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज है ?
हल: हमे 10 और 250 के बीच की ऐसी संख्याएँ लेनी है जो 4 की गुणज हो।
तब प्राप्त A.P. निम्नानुसार होगी –
12, 16, 20,…., 248
यहां a=12, d=4, an=248
∴ सूत्र an=a+(n−1)d से
248=12+(n−1)(4)
या 248−12= (n−1)(4)
236=(n−1)(4)
∴ n=59+1 =60
अतः 10 और 250 के बीच में 4 के 60 गुणज है।
प्रश्न 15: n के किस मान के लिए ,दोनों समान्तर श्रेढियों 63,65,67,…और 3,10,17,…
के nवें पद बराबर होंगे ?
हल: दी गई पहली समान्तर श्रेढ़ी में
a=63, d=65−63=2
∴ पहली समान्तर श्रेढ़ी का nवाँ पद =63+(n−1)(2)
पुनः दी गई दूसरी समान्तर श्रेढ़ी में
a=3, d=10−3=7
∴ दूसरी समान्तर श्रेढ़ी का nवाँ पद =3+(n−1)(7)
अब दोनों श्रेढियों के nवें पद बराबर होंगे ,जब
63+(n−1)(2)=3+(n−1)(7)
या 63+2n−2=3+7n−7
61+2n=7n−4
या 61+4=7n−2n
65=5n
अतः n=13 के लिए दी गई दोनों समान्तर श्रेढियों के nवें पद बराबर होंगे।
प्रश्न 16: वह A.P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।
हल: प्रश्नानुसार,
a3=a+2d=16 …(1)
a7= a5+12
या a+6d=a+4d+12
6d−4d=12
या 2d=12
∴ d=12/2=6
d=6 समी.(1) में रखने पर
a+2(6)=16
∴ a=16−12=4
अतः a=4, व d=6 के लिए निम्न A.P. प्राप्त होगी –
4, 4+6, 4+2(6), 4+3(6), 4+4(6), ……
4, 10, 16, 22, 28, ….(हर पद में 6 जोड़कर अगला पद प्राप्त किया है।)
प्रश्न 17: A.P. : 3 ,8 ,13 ,…,253 में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल: [यदि आपको अंतिम पद से कोई पद पूछा जाता है ,तो आप सूत्र
an=a+(n−1)d की जगह an=l−(n−1)d को काम में लें ,जहां n पूछा गया
पद है ,तथा l अंतिम पद का मान है। ]
दी गई A.P. से
n=20, l=253, d=8−3=5
अतः सूत्र an=l−(n−1)d से
a20=253−(20−1)(5)
=253−95
∴ a20= 158
अतः अंतिम पद से 20वाँ पद 158 है।
प्रश्न 18: किसी A.P. के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का
योग 44 है। इस A.P. के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।
हल: प्रश्नानुसार ,
स्थिति-I
a4+a8 =24
या (a+3d)+(a+7d)= 24
2a+10d=24
प्रत्येक पद में 2 का भाग देने पर
a+5d =12 …(1)
स्थिति-II
a6+a10 =44
या (a+5d)+(a+9d)= 44
2a+14d=44
प्रत्येक पद में 2 का भाग देने पर
a+7d =22 …(2)
समी.(2) में से समी.(1) को घटाने पर
d का मान समी.(1) में रखने पर
a+5(5) =12
∴ a=12−25=−13
अतः a=-13 व d=5 के लिए A.P. के प्रथम तीन पद निम्नानुसार होंगे –
a=−13,
a2=−13+5= −8,
a3=−8+5= −3
प्रश्न 19: सुब्बा राव ने 1995 में 5000 रु के मासिक वेतन पर कार्य आरंभ किया और
प्रत्येक वर्ष 200 रु की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन 7000 रु हो गया ?
हल: 5000 रु से शुरु कर प्रत्येक वर्ष 200 रु की वेतन वृद्धि से प्राप्त A.P. निम्न होगी –
5000, 5200, 5400,….,7000
माना कि nवें वर्ष में वेतन 7000 रु हो गया।
तब प्राप्त A.P. से
a=5000, d=200
an=7000, n=?
∴ सूत्र an=a+(n−1)d से
7000=5000+(n−1)(200)
या 7000−5000=(n-1)(200)
2000=(n-1)(200)
∴ n=10+1 =11
अतः 1995 से 11वें वर्ष अर्थात वर्ष 2006 में सुब्बा राव का वेतन 7000 रु हो गया।
प्रश्न 20: रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में 5 रु की बचत की और फिर अपनी
साप्ताहिक बचत 1.75 रु बढ़ाती गई। यदि nवें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत 20.75
रु हो जाती है ,तो n ज्ञात कीजिए।
हल: 5 रु से शुरू कर प्रत्येक सप्ताह बचत 1.75 रु बढ़ाने से प्राप्त A.P. निम्न होगी –
5, 6.75, 8.5, ….., 20.75
तब प्राप्त A.P. से
a=5, d=1.75
an=20.75, n=?
∴ सूत्र an=a+(n−1)d से
20.75=5+(n−1)(1.75)
या 20.75−5=(n-1)(1.75)
15.75=(n-1)(1.75)
∴ n =9+1 =10
अतः 10वें सप्ताह में रामकली की साप्ताहिक बचत 20.75 रु हो जाती है।
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