CLASS 10 MATHS SOLUTIONS
CHAPTER-7 निर्देशांक ज्यामिति
प्रश्नावली 7.1
प्रश्न 1: बिंदुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए :
(i) (2,3), (4,1)
हल: माना कि बिंदु P(2,3),व Q(4,1) है।
यहाँ
तब दूरी सूत्र से
प्रश्न 1:(ii) (-5,7), (-1,3)
हल: माना कि बिंदु P(-5,7),व Q(-1,3) है।
यहाँ
तब दूरी सूत्र से
प्रश्न 1:(iii) (a,b), (-a,-b)
हल: माना कि बिंदु P(a,b),व Q(-a,-b) है।
यहाँ
तब दूरी सूत्र से
प्रश्न 2: बिंदुओं (0,0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या अब आप
अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते है?
हल: भाग-I :- माना कि दिए गए बिंदु P(0,0) व Q(36,15) है।
[यहां P बिंदु के निर्देशांक (0,0) है ,अतः यह मूल बिंदु है। और मूल बिंदु से
किसी बिंदु (x,y) की दूरी का सूत्र √(x2+y2) होता है।]
तब दूरी सूत्र से
अतः दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी 39 मात्रक है।
भाग-II :-अनुच्छेद 7.2 में दिया गया चित्र निम्नानुसार है –
चित्र से स्पष्ट है कि
शहर A के निर्देशांक (0,0) व शहर B के निर्देशांक (36,15) है, जो कि प्रश्न
में दिए गए बिंदुओं के समान है।
अतः भाग-I के हल द्वारा स्पष्ट होता है कि
दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी 39 km है।
प्रश्न 3: निर्धारित कीजिए कि क्या बिंदु (1,5), (2,3) और (-2,-11) संरेखी है।
हल: तीन बिंदु A(1,5), B(2,3) और C(-2,-11) है।
अगर ये बिंदु संरेखी है तो निम्न तीन स्थतियाँ संभव है –
AB+BC=AC
BA+AC=BC
AC+CB=AB
अब दूरी सूत्र के प्रयोग से
…(1)
…(2)
…(3)
(1), (2) व (3) से स्पष्ट है कि
AB+BC≠AC
BA+AC≠BC
AC+CB≠AB
अतः दिए गए बिंदु संरेख नहीं है।
प्रश्न 4: जाँच कीजिए कि क्या बिंदु (5,-2), (6,4) और (7,-2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष है।
हल: माना कि तीन बिंदु P(5,-2), Q(6,4) और R(7,-2) है।
अगर ये समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष है तो कोई दो भुजाओं का मान समान होना चाहिए।
अतः दूरी सूत्र से
…(1)
….(2)
…(3)
(1), (2)व (3) से स्पष्ट है कि
PQ = QR ≠PR
अतः दिए गए बिंदु एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष है।
प्रश्न 5: किसी कक्षा में ,चार मित्र बिंदुओं A ,B ,C और D पर बैठे हुए है ,जैसा कि
आकृति 7.8 में दर्शाया गया है। चम्पा और चमेली कक्षा के अंदर आती है और कुछ
मिनट तक देखने के बाद ,चम्पा चमेली से पूछती है ,’क्या तुम नहीं सोचती हो कि
ABCD एक वर्ग है ?’चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके ,
बताइये कि इनमें कौन सही है।
हल: चित्र द्वारा बिंदु A (3,4),बिंदु B(6,7), बिंदु C(9,4) तथा बिंदु D(6,1) है।
अब दूरी सूत्र से
…(1)
…(2)
…(3)
…(4)
(1), (2), (3) व (4) से स्पष्ट है कि
AB=BC=CD=DA
पुनः विकर्ण
…(5)
तथा
…(6)
(5) व (6) से स्पष्ट है कि
AC=BD
स्पष्ट है कि बनने वाले चतुर्भुज की चारों भुजाएँ व दोनों विकर्ण बराबर है।
अतः ABCD एक वर्ग है। अर्थात चम्पा सही है।
प्रश्न 6: निम्नलिखित बिंदुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो )
बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए :
(i) (-1,-2),(1,0),(-1,2),(-3,0)
हल: माना कि दिए गए बिंदु A(-1,-2),B(1,0),C(-1,2),व D(-3,0) है।
दूरी सूत्र के प्रयोग से
AB=√[{1-(-1)}2+{0-(-2)}2]
=√[(2)2+(2)2]
=√[4+4]=√[2×4]=2√2 …(1)
BC=√[(-1-1)2+(2-0)2]
=√[(-2)2+(2)2]
=√[4+4]=√[2×4]=2√2 …(2)
CD=√[{-3-(-1)}2+{0-2}2]
=√[(-2)2+(-2)2]
=√[4+4]=√[2×4]=2√2 …(3)
DA=√[{-1-(-3)}2+{-2-0}2]
=√[(2)2+(-2)2]
=√[4+4]=√[2×4]=2√2 …(4)
AC=√[{-1-(-1)}2+{2-(-2)}2]
=√[(0)2+(4)2]
=√[0+16]=4 …(5)
BD=√[{-3-1}2+{0-0}2]
=√[(-4)2+(0)2]
=√[16+0]=4 …(6)
समी. (1),(2),(3),व (4) से स्पष्ट है कि चतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर है ,
तथा समी.(5),व (6) से स्पष्ट है कि चतुर्भुज के विकर्ण बराबर है।
अतः दिए गए बिन्दु एक वर्ग बनाते है।
प्रश्न 6:(ii) (-3,5),(3,1),(0,3),(-1,-4)
हल: माना कि दिए गए बिंदु A(-3,5),B(3,1),C(0,3),व D(-1,-4) है।
दूरी सूत्र के प्रयोग से
AB=√[{3-(-3)}2+{1-5}2]
=√[(6)2+(-4)2]
=√[36+16]=√52 …(1)
BC=√[(0-3)2+(3-1)2]
=√[(-3)2+(2)2]
=√[9+4]=√13 …(2)
CD=√[{-1-0}2+{-4-3}2]
=√[(-1)2+(-7)2]
=√[1+49]=√50 …(3)
DA=√[{-3-(-1)}2+{-5-(-4)}2]
=√[(-2)2+(-1)2]
=√[4+1]=√5 …(4)
समी. (1),(2),(3),व (4) से स्पष्ट है कि दिए गए बिंदुओं से बनने वाली भुजाएँ
किसी भी प्रकार के चतुर्भुज की परिभाषा से मेल नहीं खाती।
अतः यहाँ कोई भी चतुर्भुज नहीं बनेगा।
प्रश्न 6:(iii) (4,5),(7,6),(4,3),(1,2)
हल: माना कि दिए गए बिंदु A(4,5),B(7,6),C(4,3),व D(1,2) है।
दूरी सूत्र के प्रयोग से
AB=√[{7-4}2+{6-5}2]
=√[(3)2+(1)2]
=√[9+1]=√10 …(1)
BC=√[(4-7)2+(3-6)2]
=√[(-3)2+(-3)2]
=√[9+9]=√[2×9]=3√2 …(2)
CD=√[{1-4}2+{2-3}2]
=√[(-3)2+(-1)2]
=√[9+1]=√10 …(3)
DA=√[{4-1}2+{5-2}2]
=√[(3)2+(3)2]
=√[9+9]=√[2×9]=3√2 …(4)
AC=√[{4-4}2+{3-5}2]
=√[(0)2+(-2)2]
=√[0+4]=2 …(5)
BD=√[{1-7}2+{2-6}2]
=√[(-6)2+(-4)2]
=√[36+16]=√52 …(6)
समी. (1),(2),(3),व (4) से स्पष्ट है कि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर है ,
तथा समी.(5),व (6) से स्पष्ट है कि चतुर्भुज के विकर्ण बराबर नहीं है।
अतः दिए गए बिन्दु एक समान्तर चतुर्भुज बनाते है।
प्रश्न 7: x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2,-5)और (-2,9) से समदूरस्थ है।
हल: माना कि x-अक्ष पर स्थित बिंदु R(x,0),बिंदु P(2,-5) व बिंदु Q(-2,9)से
समदूरस्थ है।
अतः PR=QR
x2 −4x+4+25=x2 +4x+4+81
−4x−4x=81−25
−8x=56
अतः x-अक्ष पर स्थित बिंदु (-7,0) है,जो दिए गए बिंदुओं से समदूरस्थ है।
प्रश्न 8: y का वह मान ज्ञात कीजिए ,जिसके लिए बिंदु P(2,-3) और Q(10,y) के बीच
की दूरी 10 मात्रक है।
हल: यहाँ
दूरी सूत्र से
(10)2=(8)2+(y+3)2
100−64=(y+3)2
36=(y+3)2
√36=y+3
±6=y+3
‘+’ चिन्ह लेने पर
y=6−3=3
‘−’ चिन्ह लेने पर
y=−6−3=−9
अतः y=3 या −9 के लिए बिंदु P(2,-3) और Q(10,y) के बीच की दूरी 10 मात्रक होगी।
प्रश्न 9: यदि Q(0,1) बिंदुओं P(5,-3) और R(x,6) से समदूरस्थ है, तो x का मान ज्ञात
कीजिए। दूरियां QR और PR भी ज्ञात कीजिए।
हल:चूँकि Q(0,1) बिंदुओं P(5,-3) और R(x,6) से समदूरस्थ है,
अतः PQ =QR
दूरी सूत्र के प्रयोग से
(-5)2+(1+3)2=x2+(5)2
25+16=x2+25
x2=16
x=√16=±4
अतः x का मान ±4 होगा।
पुनः दूरी सूत्र के प्रयोग से
(x=4 या −4 रखने पर)
तथा
x=4 रखने पर
x=−4 रखने पर
अतः QR का मान √41 तथा PR का मान √82 या 9√2 है।
प्रश्न 10: x और y में एक ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए कि बिंदु (x,y) बिंदुओं (3,6) और
(-3,4) से समदूरस्थ हो।
हल: माना कि बिंदु R(x,y),बिंदु P(3,6) व बिंदु Q(-3,4)से
समदूरस्थ है।
अतः PR=QR
दूरी सूत्र के प्रयोग से
(x-3)2+(y-6)2=(x+3)2+(y-4)2
(x2 −6x+9)+(y2 −12y+36) =(x2+6x+9)+(y2 −8y+16)
−6x−12y+36=6x−8y+16
0=6x+6x−8y+12y+16−36
या 12x+4y−20=0
प्रत्येक पद में 4 का भाग देने पर
3x+y−5=0
या 3x+y=5
जो कि x और y में अभीष्ट सम्बन्ध है।
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