MATHS FOR CLASS 10 CHAPTER-7(7.2)

MATHS FOR CLASS 10

CHAPTER-7 निर्देशांक ज्यामिति

प्रश्नावली 7.2

प्रश्न 1: उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ,जो बिंदुओं (-1,7) और (4,-3) को मिलाने

वाले रेखाखंड को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है।

हल: माना कि बिंदु P(x,y) ,बिंदुओं (-1,7) और (4,-3) को मिलाने वाले रेखाखंड

को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है।

अतः यहाँ x₁=−1, x₂=4, y₁=7, y₂=−3

तथा m₁=2, m₂=3

अब विभाजन सूत्र से

$P(x,y)=[\frac{m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}},\frac{m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}}{m_{1}+m_{2}}]$

$P(x,y)=[\frac{(2)(4)+(3)(-1)}{2+3},\frac{(2)(-3)+(3)(7)}{2+3}]$

$P(x,y)=[\frac{8-3}{5},\frac{-6+21}{5}]$

$P(x,y)=[\frac{5}{5},\frac{15}{5}]$

P(x,y) = [1,3]

प्रश्न 2: बिंदुओं (4,-1) और (-2,-3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम-त्रिभाजित करने

वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल:

माना कि बिंदुओं A(4,-1) और B(-2,-3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम-त्रिभाजित

करने वाले बिंदु P व Q है।

बिंदु P के लिए –

यहाँ x₁=4, x₂=-2, y₁=-1, y₂=-3

तथा m₁=1, m₂=2 (कैसे?)

(चित्र में आप देख सकते है कि बिंदु P के बाईं तरफ रेखाखण्ड AB के तीन बराबर भागों

में से एक भाग तथा दाईं तरफ दो भाग मौजूद है। अतः m₁=1, m₂=2]

अब विभाजन सूत्र से

$P(x,y)=[\frac{m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}},\frac{m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}}{m_{1}+m_{2}}]$

$P(x,y)=[\frac{(2)(4)+(1)(-2)}{1+2},\frac{(2)(-1)+(1)(-3)}{1+2}]$

$P(x,y)=[\frac{8-2}{3},\frac{-2-3}{3}]$

$P(x,y)=[\frac{6}{3},\frac{-5}{3}]$

$P(x,y)=[2,\frac{-5}{3}]$

बिंदु Q के लिए –

यहाँ x₁=4, x₂=-2, y₁=-1, y₂=-3

तथा m₁=2, m₂=1 (कैसे?)

(चित्र में आप देख सकते है कि बिंदु Q के बाईं तरफ रेखाखण्ड AB के तीन बराबर भागों

में से दो भाग तथा दाईं तरफ एक भाग मौजूद है। अतः m₁=2, m₂=1 ]

अब विभाजन सूत्र से

$Q(x,y)=[\frac{(1)(4)+(2)(-2)}{2+1},\frac{(1)(-1)+(2)(-3)}{2+1}]$

$Q(x,y)=[\frac{4-4}{3},\frac{-1-6}{3}]$

$Q(x,y)=[\frac{0}{3},\frac{-7}{3}]$

$Q(x,y)=[0,\frac{-7}{3}]$

बिंदुओं (4,-1) और (-2,-3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम-त्रिभाजित करने

वाले बिंदुओं के निर्देशांक (2,−5/3) व (0,−7/3) है।

प्रश्न 3: आपके स्कूल में खेल-कूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए ,एक आयताकार

मैदान ABCD में, चूने से परस्पर 1 m की दूरी पर पंक्तियाँ बनाई गई है। AD के अनुदिश

परस्पर 1 m की दूरी पर 100 गमले रखें गए है ,जैसा कि आकृति 7.12 में दर्शाया गया है।

निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के ¼ भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा

झंडा गाड़ देती है। प्रीत आंठवी पंक्ति में AD के 1/5 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है

और वहाँ एक लाल झंडा गाड़ देती है। दोनों झंडो के बीच की दूरी क्या है ?यदि रश्मि को

एक नीला झंडा इन दोनों झंडो को मिलाने वाले रेखाखंड पर ठीक आधी दूरी (बीच में )

पर गाड़ना हो तो उसे अपना झंडा कहाँ गाड़ना चाहिए ?

हल: दिया है:- AD के अनुदिश परस्पर 1 m की दूरी पर 100 गमले रखें गए है।

अब प्रश्नानुसार,

AD का ¼ भाग =100/4 =25 m

तथा AD का 1/5 भाग =100/5 =20 m

अतः हरे झंडे की स्थति के लिए निर्देशांक (2,25) होगा।

तथा लाल झंडे की स्थति के लिए निर्देशांक (8,20) होगा।

भाग-I

अतः दूरी सूत्र के प्रयोग से हरे व लाल झंडे के बीच की दूरी

$=\sqrt{(8-2)^{2}+(20-25)^{2}}$

$=\sqrt{(6)^{2}+(-5)^{2}}$

$=\sqrt{36+25}=\sqrt{61}m$

भाग-II

पुनः हरे व लाल झंडे के मध्य बिंदु के निर्देशांक

$=(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2})$

$=(\frac{2+8}{2},\frac{25+20}{2})$

$=(\frac{10}{2},\frac{45}{2})$

=(5,22.5)

स्पष्ट है कि रश्मि को नीले झंडे को पाँचवी पंक्ति में AD के अनुदिश 22.5 m की दूरी

पर गाड़ना होगा।

प्रश्न 4: बिंदुओं (-3,10) और (6,-8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु (-1,6) किस

अनुपात में विभाजित करता है।

हल: माना कि बिंदुओं (-3,10) और (6,-8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु (-1,6)

m₁:m₂अनुपात में विभाजित करता है।

यहाँ x₁=-3, x₂=6, y₁=10, y₂=-8

अब विभाजन सूत्र से, विभाजन बिंदु का x निर्देशांक निम्न होगा-

$x=\frac{m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}}$

$-1=\frac{m_{1}(6)+m_{2}(-3)}{m_{1}+m_{2}}$

−1(m₁+m₂)=6m₁−3m₂

−m₁−6m₁=−3m₂+m₂

−7m₁ =−2m₂

$\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{-2}{-7}=\frac{2}{7}$

∴ m₁:m₂ =2:7

अतः बिंदुओं (-3,10) और (6,-8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु (-1,6)

2:7 अनुपात में विभाजित करता है।

प्रश्न 5: वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिंदुओं A(1,-5) और B(-4,5) को मिलाने वाला

रेखाखंड x-अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि बिंदुओं A(1,-5) और B(-4,5) को जोड़ने वाले रेखाखंड को x-अक्ष अर्थात

बिंदु (x,0), m₁:m₂अनुपात में विभाजित करता है।

[यदि x-अक्ष किसी रेखाखण्ड को काटे तो विभाजन बिंदु का y निर्देशांक शून्य होगा अर्थात

(x,0),और यदि y-अक्ष किसी रेखाखण्ड को काटे तो विभाजन बिंदु का x निर्देशांक शून्य

होगा अर्थात (0,y)]

यहाँ x₁=1, x₂=-4, y₁=-5, y₂=5

अब विभाजन सूत्र से, विभाजन बिंदु का y निर्देशांक निम्न होगा-

$y=\frac{m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}}{m_{1}+m_{2}}$

$0=\frac{m_{1}(5)+m_{2}(-5)}{m_{1}+m_{2}}$

0=5m₁−5m₂

−5m₁ =−5m₂

$\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{-5}{-5}=\frac{1}{1}$

∴ m₁:m₂ =1:1

अतः बिंदुओं A(1,-5) और B(-4,5) को जोड़ने वाले रेखाखंड को x-अक्ष

1:1 अनुपात में विभाजित करेगा।

पुनः विभाजन सूत्र से, विभाजन बिंदु का x निर्देशांक निम्न होगा-

$x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$

$x=\frac{1+(-4)}{2}=\frac{-3}{2}$

अतः विभाजन बिंदु का निर्देशांक (-3/2,0) होगा।

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प्रश्न 6: यदि बिंदु (1,2), (4,y), (x,6), और (3,5) इसी क्रम में लेने पर ,एक समांतर

चतुर्भुज के शीर्ष हो तो x और y ज्ञात कीजिए।

हल: CLASS 10 MATHS

हम जानते है कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते है।

अतः बिंदु O विकर्ण AC व BD को 1:1 में विभाजित करेगा।

अब विकर्ण AC के लिए मध्य बिंदु O के निर्देशांक

$=(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2})$

$=(\frac{1+x}{2},\frac{2+6}{2})$

$=(\frac{1+x}{2},4)$ ….(1)

पुनः विकर्ण BD के लिए मध्य बिंदु O के निर्देशांक

$=(\frac{4+3}{2},\frac{5+y}{2})$

$=(\frac{7}{2},\frac{5+y}{2})$ ….(2)

(1) व (2) से

$(\frac{1+x}{2},4)=(\frac{7}{2},\frac{5+y}{2})$

दोनों पक्षों की तुलना करने पर

$\frac{1+x}{2}=\frac{7}{2}$

1+x=7

⇒x=7−1=6

तथा

$4=\frac{5+y}{2}$

8=5+y

⇒y=8−5=3

स्पष्टतः x का मान 6 तथा y का मान 3 होगा।

प्रश्न 7: बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ,जहाँ AB एक वृत का व्यास है जिसका केंद्र

(2,-3) है तथा B के निर्देशांक (1,4) है।

हल: CLASS 10 MATHS

हम जानते है कि वृत का केंद्र व्यास को 1:1 में विभाजित करता है।

अतः विभाजन सूत्र से मध्य बिंदु O के निर्देशांक

$(2,-3)=(\frac{x+1}{2},\frac{y+4}{2})$

दोनों पक्षों की तुलना करने पर

$2=\frac{x+1}{2}$

4=x+1

⇒ x=4−1=3

तथा

$-3=\frac{y+4}{2}$

−6=y+4

⇒ y=−6−4=−10

अतः बिंदु A के निर्देशांक (3,-10) है।

प्रश्न 8: यदि A और B क्रमशः (-2,-2) और (2,-4) हो तो बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात

कीजिए ताकि AP=3/7 AB हो और P रेखाखंड AB पर स्थित हो।

हल: दिया है: AP=3/7 AB

अर्थात बिंदु P ,रेखाखण्ड AB को 3:4 (कैसे ?) में विभाजित करेगा।

[आप इसे ऐसे समझे:- 7 में से 3 भाग AP बनाता है तो PB के लिए कितना भाग शेष

रहा ? 7−3=4 अतः बिंदु P रेखाखण्ड को 3:4 में विभाजित करेगा। ]

अब प्रश्न से

x₁=-2, x₂=2, y₁=-2, y₂=-4

तथा m₁=3, m₂=4

अब विभाजन सूत्र से

$P(x,y)=[\frac{m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}},\frac{m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}}{m_{1}+m_{2}}]$

$P(x,y)=[\frac{(3)(2)+(4)(-2)}{3+4},\frac{(3)(-4)+(4)(-2)}{3+4}]$

$P(x,y)=[\frac{6-8}{7},\frac{-12-8}{7}]$

$P(x,y)=[\frac{-2}{7},\frac{-20}{7}]$

प्रश्न 9: बिंदुओं (-2,2) और (2,8) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB को चार बराबर भागों

में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल:

माना कि बिंदुओं A(-2,2) और B(2,8) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB को चार बराबर

भागों में विभाजित करने वाले बिंदु P,R व Q है।

सर्वप्रथम रेखाखण्ड AB के मध्य बिंदु R के निर्देशांक के लिए

x₁=-2, x₂=2, y₁=2, y₂=8

अतः बिंदु R के निर्देशांक

$=(\frac{-2+2}{2},\frac{2+8}{2})$

$=(\frac{0}{2},\frac{10}{2})=(0,5)$

अब रेखाखण्ड AR के मध्य बिंदु P के निर्देशांक के लिए

x₁=-2, x₂=0, y₁=2, y₂=5

अतः बिंदु P के निर्देशांक

$=(\frac{-2+0}{2},\frac{2+5}{2})$

$=(\frac{-2}{2},\frac{7}{2})=(-1,\frac{7}{2})$

पुनः रेखाखण्ड RB के मध्य बिंदु Q के निर्देशांक के लिए

x₁=0, x₂=2, y₁=5, y₂=8

अतः बिंदु Q के निर्देशांक

$=(\frac{0+2}{2},\frac{5+8}{2})$

$=(\frac{2}{2},\frac{13}{2})=(1,\frac{13}{2})$

अतः रेखाखंड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं P,R व Q

के निर्देशांक क्रमशः (-1,7/2), (0,5) व (1, 13/2) है।

प्रश्न 10: एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष ,इसी क्रम में (3,0),

(4,5), (-1,4) और (-2,-1) है।

[संकेत: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल =½(उसके विकर्णों का गुणनफल)]

हल: CLASS 10 MATHS

चित्र से विकर्ण AC के लिए

x₁=3, x₂=-1, y₁=0, y₂=4

तब दूरी सूत्र के प्रयोग से

$AC=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

$AC=\sqrt{(-1-3)^{2}+(4-0)^{2}}$

$AC=\sqrt{(-4)^{2}+(4)^{2}}$

$AC=4\sqrt{2}...(1)$

चित्र से विकर्ण BD के लिए

x₁=4, x₂=-2, y₁=5, y₂=-1

तब दूरी सूत्र के प्रयोग से

$BD=\sqrt{(-2-4)^{2}+(-1-5)^{2}}$

$BD=\sqrt{(-6)^{2}+(-6)^{2}}$

$BD=6\sqrt{2}...(2)$

अब समचतुर्भुज का क्षेत्रफल =½(AC×BD)

=½(4√2 ×6√2)

=½(24×2)

=24 वर्ग इकाई

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