CLASS 10 MATHS CHAPTER-8(8.2)

CLASS 10 MATHS CHAPTER-8

त्रिकोणमिति का परिचय

प्रश्नावली 8.2

CLASS 10 MATHS CHAPTER-8 की प्रश्नावली 8.2 के प्रश्नों को हल करने के लिए

आप निम्न सारणी को अवश्य याद कर लेवें।

डिग्री/रेडियन→ त्रिकोणमितीय अनुपात ↓	0° 0	30° $\frac{\pi }{6}$	45° $\frac{\pi }{4}$	60° $\frac{\pi }{3}$	90° $\frac{\pi }{2}$
sin θ	0	$\frac{1 }{2}$	$\frac{1 }{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3} }{2}$	1
cos θ	1	$\frac{\sqrt{3} }{2}$	$\frac{1 }{\sqrt{2}}$	$\frac{1 }{2}$	0
tan θ	0	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$	∞
cot θ	∞	$\sqrt{3}$	1	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	0
sec θ	1	$\frac{2}{\sqrt{3}}$	$\sqrt{2}$	2	∞
cosec θ	∞	2	$\sqrt{2}$	$\frac{2}{\sqrt{3}}$	1

प्रश्न 1: निम्नलिखित के मान निकालिए :

(i) sin 60°cos 30°+sin 30°cos 60°

हल: $=(\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2})+(\frac{1}{2})(\frac{1}{2})$

$=(\frac{3}{4})+(\frac{1}{4})$

$=(\frac{3+1}{4})=\frac{4}{4}=1$

प्रश्न 1: (ii) 2tan²45°+cos²30°−sin²60°

हल: $=2(1)^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}-(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}$

= 2

प्रश्न 1: $(iii)\frac{cos45^{\circ}}{sec30^{\circ}+cosec30^{\circ}}$

हल: $=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}+2}=\frac{1}{\sqrt{2}(\frac{2+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}$

$=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}(2+2\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}$

$=\frac{\sqrt{3}}{2(\sqrt{2}+\sqrt{6})}$

हर का परिमेयकरण करने पर

$=\frac{\sqrt{3}}{2(\sqrt{6}+\sqrt{2})}\times \frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}$

$=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2[(\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{2})^{2}]}$ [सूत्र (a+b)(a-b)=a²-b² से]

$=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2[6-2]}$

$=\frac{\sqrt{3}\times \sqrt{6}-\sqrt{3}\times \sqrt{2}}{2[4]}$

$=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}$

प्रश्न 1: $(iv)\frac{sin30^{\circ}+tan45^{\circ}-cosec60^{\circ}}{sec30^{\circ}+cos60^{\circ}+cot45^{\circ}}$

हल: $=\frac{\frac{1}{2}+1-\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}+1}$

$=\frac{\frac{3}{2}-\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{3}{2}}$

$=\frac{\frac{3\sqrt{3}-4}{2\sqrt{3}}}{\frac{4+3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}}$

$=\frac{3\sqrt{3}-4}{2\sqrt{3}}\times \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}+4}$

$=\frac{3\sqrt{3}-4}{3\sqrt{3}+4}$

$=\frac{3\sqrt{3}-4}{3\sqrt{3}+4}\times \frac{3\sqrt{3}-4}{3\sqrt{3}-4}$

$=\frac{(3\sqrt{3}-4)^{2}}{(3\sqrt{3})^{2}-(4)^{2}}$

$=\frac{(3\sqrt{3})^{2}+(4)^{2}-2\times 3\sqrt{3}\times 4}{27-16}$

$=\frac{27+16-24\sqrt{3}}{11}=\frac{43-24\sqrt{3}}{11}$

प्रश्न 1: $(v)\frac{5cos^{2}60^{\circ}+4sec^{2}30^{\circ}-tan^{2}45^{\circ}}{sin^{2}30^{\circ}+cos^{2}30^{\circ}}$

हल: $=\frac{5(\frac{1}{2})^{2}+4(\frac{2}{\sqrt{3}})^{2}-(1)^{2}}{(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}$

$=\frac{\frac{5}{4}+\frac{16}{3}-1}{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}$

$=\frac{\frac{15+64-12}{12}}{\frac{1+3}{4}}=\frac{\frac{67}{12}}{\frac{4}{4}}$

$=\frac{67}{12}$

प्रश्न 2: सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए :

$(i)\frac{2tan30^{\circ}}{1+tan^{2}30^{\circ}}=$

(A) sin 60° (B) cos 60°

(C) tan 60° (D) sin 30°

हल : $\frac{2tan30^{\circ}}{1+tan^{2}30^{\circ}}=\frac{2\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+(\frac{1}{\sqrt{3}})^{2}}$

$=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}}$

$=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{3}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

= sin 60°

अतः सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 2: $(ii)\frac{1-tan^{2}45^{\circ}}{1+tan^{2}45^{\circ}}=$

(A) tan 90° (B) 1

(C) sin 45° (D) 0

हल: $\frac{1-tan^{2}45^{\circ}}{1+tan^{2}45^{\circ}}=\frac{1-1^{2}}{1+1^{2}}$

$=\frac{0}{2}=0$

अतः सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 2:(iii) sin 2A=2 sin A तब सत्य होता है ,जबकि A बराबर है :

(A) 0° (B) 30° (C) 45° (D) 60°

हल: A=0 लेने पर

L.H.S.=sin 2(0)

=sin 0°=0

R.H.S.=2 sin 0°

= 2×0=0

अतः सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 2: $(iv)\frac{2tan30^{\circ}}{1-tan^{2}30^{\circ}}$ बराबर है :

(A) cos 60° (B) sin 60°

(C) tan 60° (D) sin 30°

हल: $\frac{2tan30^{\circ}}{1-tan^{2}30^{\circ}}=\frac{2(\frac{1}{\sqrt{3}})}{1-(\frac{1}{\sqrt{3}})^{2}}$

$=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3-1}{3}}$

$=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{3}{2}=\sqrt{3}$

= tan 60°

अतः सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 3: यदि tan (A+B)=√3 और tan (A−B)=1/√3; 0°<A+B≤90°;A>B तो

A और B का मान ज्ञात कीजिए।

हल: दिया है tan (A+B)=√3

tan (A+B)=tan 60°

∴ A+B=60° ….(1)

पुनः tan (A−B)=1/√3

tan (A−B)=tan 30°

∴ A−B=30° ….(2)

समी.(1)+समी.(2) से

CLASS 10 MATHS

$A=\frac{90^{\circ}}{2}=45^{\circ}$

A का मान समी.(1) में रखने पर

45°+B=60°

B=60°−45°

⇒ B =15°

अतः A का मान 45° व B का मान 15° है। यहाँ A>B

प्रश्न 4: बताइये कि निम्नलिखित में कौन-कौन सत्य है या असत्य है। कारण सहित

अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए :

प्रश्न 4:(i) sin (A+B)=sin A+ sin B

हल: यहाँ A =30° व B=60° लेने पर

L.H.S.=sin (A+B)

=sin (30°+60°)

=sin 90°=1 ….(1)

R.H.S.= sin A+ sin B

=sin 30°+sin 60°

$=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}...(2)$

समी.(1) व समी.(2) से

sin (A+B) ≠ sin A+ sin B

अतः दिया गया कथन असत्य है।

प्रश्न 4:(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है।

हल: θ के मान 0°,30°,45°,60°तथा 90° लेने पर sin θ के मान क्रमशः 0,½,

1/√2, √3/2, व 1 प्राप्त होते है।

स्पष्टतः θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है।

परन्तु यह वृद्धि 90° तक के मान तक ही होती है बाद में नहीं।

अतः दिया गया कथन θ के 90° तक के मान के लिए सत्य है।

प्रश्न 4:(iii) θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है।

हल: θ के मान 0°,30°,45°,60°तथा 90° लेने पर cos θ के मान क्रमशः 1 ,√3/2,

1/√2, 1/2, व 0 प्राप्त होते है।

स्पष्टतः θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में वृद्धि नहीं होती है।

अतः दिया गया कथन असत्य है।

प्रश्न 4:(iv) θ के सभी मानों पर sin θ=cos θ

हल: θ=0° लेने पर

sin 0°=0

तथा cos 0°=1

∴ sin 0°≠cos 0°

अतः दिया गया कथन असत्य है।

प्रश्न 4:(v) A=0° पर cot A परिभाषित नहीं है।

हल: हम जानते है कि cot A =1/tan A

∴ A=0° पर

$cot0^{\circ}=\frac{1}{tan0^{\circ}}=\frac{1}{0}$

[∵ tan 0°=0 ]

=अपरिभाषित (∞)

अतः A=0° पर cot A अपरिभाषित है।

अर्थात दिया गया कथन सत्य है।

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