CHAPTER-11 रचनाएँ (11.1)

CHAPTER-11

रचनाएँ

प्रश्नावली-11.1

निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए रचना का औचित्य भी दीजिए :

CHAPTER-11 रचनाएँ

प्रश्न 1: 7.6 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड खींचिए और इसे 5:8 के अनुपात में विभाजित

कीजिए। दोनों भागों को मापिए।

हल: दिया है :रेखाखण्ड AB=7.6 सेमी।

CLASS 10 MATHS CHAPTER 11 रचनाएँ

रचना के चरण:

1 ) सर्वप्रथम स्केल की सहायता से AB=7.6 सेमी का रेखाखण्ड खींचा।

2 ) रेखाखण्ड के A बिंदु से न्यूनकोण बनाती हुई किरण AX खींची।

3 ) किरण AX को परकार की सहायता से (5+8)=13 समान भागो में विभाजित किया

जिन्हें क्रमशः A₁से A₁₃तक नामांकित किया।

4 ) स्केल की सहायता से BA₁₃ को मिलाया।

5 ) बिंदु A₅ से A₁₃B के समान्तर रेखा खींची जो AB को बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती है।

6 ) इस प्रकार अभीष्ट रचना AP:BP=5:8 प्राप्त हुई।

दोनों भागों को मापने पर

AP=2.9 सेमी तथा BP=4.7 सेमी।

औचित्य (उत्पति):

ΔAA₅P तथा ΔAA₁₃B में ,

A₅P ∥ A₁₃B

अतः आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से,

$\frac{AA_{5}}{A_{5}A_{13}}=\frac{AP}{PB}$

परन्तु रचना से

$\frac{AA_{5}}{A_{5}A_{13}}=\frac{5}{8}$

$\therefore \frac{AP}{PB}=\frac{5}{8}$

अतः बिंदु P ,रेखाखण्ड AB को 5:8 के अनुपात में विभाजित करता है।

CHAPTER-11 रचनाएँ

प्रश्न 2: 4 सेमी, 5 सेमी और 6 सेमी भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और

फिर इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए ,जिसकी भुजाएँ दिए हुए

त्रिभुज की संगत भुजाओं की ⅔ गुनी हो।

हल: माना कि ΔABC है ,जिसमें AB=5 सेमी, AC=4 सेमी तथा BC=6 सेमी है।

CLASS 10 MATHS

रचना के चरण:

1 ) सर्वप्रथम स्केल की सहायता से BC=6 सेमी का रेखाखण्ड खींचा।

2 ) B व C बिंदु से क्रमशः 5 सेमी व 4 सेमी त्रिज्या के चाप काटे जो एक दूसरे को

A बिंदु पर काटते है।

3 ) बिंदु A को स्केल की सहायता से B व C से मिलाया। इस प्रकार प्राप्त ΔABC

ही वांछित त्रिभुज है।

4 ) आधार BC के नीचे की ओर न्यूनकोण बनाती हुई किरण BX खींची।

5 ) BX किरण पर तीन बिंदु इस प्रकार अंकित किए कि BB₁=B₁B₂=B₂B₃ है।

6 ) स्केल की सहायता से B₃C को मिलाया।

7 ) बिंदु B₂ से B₃C के समान्तर रेखा खींची जो BC को बिंदु C’ पर प्रतिच्छेद करती है।

8 ) अब बिंदु C’ से CA के समान्तर रेखा खींची जो AB को बिंदु A’ पर प्रतिच्छेद करती

है।

9 ) इस प्रकार अभीष्ट ΔA’BC’ प्राप्त हुआ जिसकी भुजाएँ ΔABC की संगत भुजाओं की

⅔ गुनी है।

औचित्य (उत्पति):

ΔB₂BC’ तथा ΔB₃BC में,

∠B =∠B (उभयनिष्ठ कोण )

∠BB₂C’=∠BB₃C (रचना से)

∴ ΔB₂BC’ ∼ ΔB₃BC (AA समरूपता कसौटी से)

∴ आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से ,

$\frac{B_{2}B}{B_{3}B}=\frac{BC'}{BC}=\frac{B_{2}C'}{B_{3}C'}$

$\Rightarrow \frac{B_{2}B}{B_{3}B}=\frac{BC'}{BC}$

परन्तु

$\frac{B_{2}B}{B_{3}B}=\frac{2}{3}$

$\therefore \frac{BC'}{BC}=\frac{2}{3}...(1)$

इसी प्रकार ΔA’BC’ तथा ΔABC में ,

∠B =∠B (उभयनिष्ठ कोण )

∠A’C’B=∠ACB (रचना से)

∴ ΔA’BC’ ∼ ΔABC (AA समरूपता कसौटी से)

∴ आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से ,

$\frac{A'B}{AB}=\frac{BC'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}$

$\Rightarrow \frac{A'B}{AB}=\frac{BC'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}=\frac{2}{3}[by(1)]$

$\Rightarrow A'B=\frac{2}{3}AB$

$\Rightarrow BC'=\frac{2}{3}BC$

$\Rightarrow C'A'=\frac{2}{3}CA$

CHAPTER-11 रचनाएँ

प्रश्न 3: 5 सेमी, 6 सेमी और 7 सेमी भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और

फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए ,जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत

भुजाओं की 7/5 गुनी हो।

हल: माना कि ΔABC है ,जिसमें AB=7 सेमी, AC=5 सेमी तथा BC=6 सेमी है।

CLASS 10 MATHS

रचना के चरण:

1 ) सर्वप्रथम स्केल की सहायता से AB=7 सेमी का रेखाखण्ड खींचा।

2 ) A व B बिंदु से क्रमशः 5 सेमी व 6 सेमी त्रिज्या के चाप काटे जो एक दूसरे को

C बिंदु पर काटते है।

3 ) बिंदु C को स्केल की सहायता से A व B से मिलाया। इस प्रकार ΔABC

प्राप्त हुआ।

4 ) आधार AB के नीचे की ओर न्यूनकोण बनाती हुई किरण AX खींची।

5 ) किरण AX को परकार की सहायता से 7 समान भागो में विभाजित किया

जिन्हें क्रमशः A₁से A7तक नामांकित किया।

6 ) स्केल की सहायता से BA5 को मिलाया।

7 ) बिंदु A₇ से A₅B के समान्तर रेखा खींची जो AB को आगे बढ़ाने पर बिंदु B’ पर

मिलती है। जहाँ AB’=7/5 AB

8 ) अब बिंदु B’ से BC के समान्तर रेखा खींची जो AC को आगे बढ़ाने पर बिंदु C’ पर

मिलती है।

9 ) इस प्रकार प्राप्त ΔAB’C’ अभीष्ट त्रिभुज है।

औचित्य (उत्पति):

ΔAA₅B तथा ΔAA₇B’ में,

∠A =∠A (उभयनिष्ठ कोण )

∠AA₅B=∠AA₇B’ (रचना से)

∴ ΔAA₅B ∼ ΔAA₇B’ (AA समरूपता कसौटी से)

∴ आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से ,

$\frac{AA_{5}}{AA_{7}}=\frac{A_{5}B}{A_{7}B'}=\frac{AB}{AB'}$

$\Rightarrow \frac{AA_{5}}{AA_{7}}=\frac{AB}{AB'}$

परन्तु रचना से ,

$\frac{AA_{5}}{AA_{7}}=\frac{5}{7}$

$\therefore \frac{AB}{AB'}=\frac{5}{7}$

इसी प्रकार ΔABC तथा ΔAB’C’ में ,

∠A =∠A (उभयनिष्ठ कोण )

∠ABC=∠AB’C’ (रचना से)

∴ ΔABC ∼ ΔAB’C’ (AA समरूपता कसौटी से)

∴ आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से ,

$\frac{AB}{AB'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A}=\frac{5}{7}$

$or\frac{AB'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'A}{CA}=\frac{7}{5}$

$\Rightarrow \frac{AB'}{AB}=\frac{7}{5}orAB'=\frac{7}{5}AB$

$\Rightarrow \frac{B'C'}{BC}=\frac{7}{5} orB'C'=\frac{7}{5}BC$

$\Rightarrow \frac{C'A}{CA}=\frac{7}{5} orC'A=\frac{7}{5}CA$

अतः ΔAB’C’ अभीष्ट त्रिभुज है, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत

भुजाओं की 7/5 गुनी है।

CHAPTER-11 रचनाएँ

प्रश्न 4: आधार 8 सेमी तथा ऊंचाई 4 सेमी के एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए

और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए ,जिसकी भुजाएँ इस समद्विबाहु त्रिभुज

की संगत भुजाओं की 1½ गुनी हो।

हल: माना कि एक समद्विबाहु ΔABC है जिसका आधार AB=8 सेमी तथा ऊंचाई 4

सेमी है।

CLASS 10 MATHS

रचना के चरण:

1 ) सर्वप्रथम स्केल की सहायता से AB=8 सेमी का रेखाखण्ड खींचा।

2 ) परकार की सहायता से रेखाखण्ड AB का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो रेखाखण्ड

AB को M बिंदु पर काटता है।

3 ) बिंदु M से लम्ब समद्विभाजक पर 4 सेमी का चाप काटा जिससे हमें बिंदु C प्राप्त

हुआ।

4 ) बिंदु C को स्केल की सहायता से A व B से मिलाया। इस प्रकार ΔABC प्राप्त हुआ।

5 ) आधार AB के नीचे की ओर न्यूनकोण बनाती हुई किरण AX खींची।

6 ) AX किरण पर तीन बिंदु इस प्रकार अंकित किए कि AA₁=A₁A₂=A₂A₃ है।

7 ) स्केल की सहायता से A₂ व B को मिलाया।

8 ) बिंदु A₃ से A₂B के समान्तर रेखा खींची जो AB को आगे बढ़ाने पर बिंदु B’ पर

मिलती है।

9 ) अब बिंदु B’ से BC के समान्तर रेखा खींची जो AC को आगे बढ़ाने पर बिंदु C’ पर

मिलती है।

10 ) इस प्रकार अभीष्ट ΔAB’C’ प्राप्त हुआ जिसकी भुजाएँ ΔABC की संगत भुजाओं

की 1½ गुनी है।

औचित्य (उत्पति):

ΔA₃AB’ तथा ΔA₂AB में,

∠A =∠A (उभयनिष्ठ कोण )

∠A₃AB’=∠AA₂B (रचना से)

∴ ΔAA₅B ∼ ΔA₂AB (AA समरूपता कसौटी से)

∴ आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से ,

$\frac{A_{3}A}{A_{2}B}=\frac{AB'}{AB}=\frac{B'A_{3}}{BA_{2}}$

$\Rightarrow \frac{A_{3}A}{A_{2}B}=\frac{AB'}{AB}$

परन्तु रचना से ,

$\Rightarrow \frac{A_{3}A}{A_{2}B}=\frac{3}{2}[\because 1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}]$

$\therefore \frac{AB'}{AB}=\frac{3}{2}$

इसी प्रकार ΔAB’C’ तथा ΔABC में ,

∠A =∠A (उभयनिष्ठ कोण )

∠AB’C’=∠ABC (रचना से)

∴ ΔAB’C’ ∼ ΔABC (AA समरूपता कसौटी से)

∴ आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से ,

$\frac{AB'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'A}{CA}=\frac{3}{2}$

$\Rightarrow \frac{AB'}{AB}=\frac{3}{2}orAB'=\frac{3}{2}AB$

$\Rightarrow \frac{B'C'}{BC}=\frac{3}{2}orB'C'=\frac{3}{2}BC$

$\Rightarrow \frac{C'A}{CA}=\frac{3}{2}orC'A=\frac{3}{2}CA$

CHAPTER-11 रचनाएँ

प्रश्न 5: एक त्रिभुज ABC बनाइये जिसमें BC=6 सेमी ,AB=5 सेमी, और ∠ABC=60°

हो। फिर एक त्रिभुज की रचना कीजिए ,जिसकी भुजाएँ ΔABC की संगत भुजाओं की

¾ गुनी हो।

हल:दिया है : ΔABC में BC=6 सेमी ,AB=5 सेमी, और ∠ABC=60°

CLASS 10 MATHS

रचना के चरण:

1 ) सर्वप्रथम स्केल की सहायता से BC=6 सेमी का रेखाखण्ड खींचा।

2 ) परकार की सहायता से B बिंदु पर 60° का कोण बनाती हुई किरण BX खींची।

3 ) बिंदु B से किरण BX पर 5 सेमी का चाप काटा जिससे बिंदु A प्राप्त हुआ।

4 ) बिंदु A को C से मिलाया। जिससे हमे त्रिभुज ABC प्राप्त हुआ।

5 ) रेखाखण्ड BC के नीचे की ओर न्यूनकोण बनाती हुई किरण BY खींची।

6 )BY किरण पर चार बिंदु इस प्रकार अंकित किए कि BB₁=B₁B₂=B₂B₃=B₃B₄ है।

7 ) स्केल की सहायता से B₄C को मिलाया।

8 ) बिंदु B₃ से B₄C के समान्तर रेखा खींची जो BC को बिंदु C’ पर प्रतिच्छेद करती है।

9 ) अब बिंदु C’ से CA के समान्तर रेखा खींची जो BA को बिंदु A’ पर प्रतिच्छेद करती

है।

10 ) इस प्रकार अभीष्ट ΔA’BC’ प्राप्त हुआ जिसकी भुजाएँ ΔABC की संगत भुजाओं की

¾ गुनी है।

औचित्य (उत्पति):

ΔB₃BC’ तथा ΔB₄BC में,

∠B =∠B (उभयनिष्ठ कोण )

∠BB₃C’=∠BB₄C (रचना से)

∴ ΔB₃BC’ ∼ ΔB₄BC (AA समरूपता कसौटी से)

∴ आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से ,

$\frac{B_{3}B}{B_{4}B}=\frac{BC'}{BC}=\frac{C'B_{3}}{CB_{4}}$

$\Rightarrow \frac{B_{3}B}{B_{4}B}=\frac{BC'}{BC}$

परन्तु रचना से ,

$\frac{B_{3}B}{B_{4}B}=\frac{3}{4}$

$\therefore \frac{BC'}{BC}=\frac{3}{4}$

इसी प्रकार ΔBC’A’∼ΔBCA

अतः आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से ,

$\frac{A'B}{AB}=\frac{BC'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}=\frac{3}{4}$

$\Rightarrow \frac{A'B}{AB}=\frac{3}{4}orA'B=\frac{3}{4}AB$

$\Rightarrow \frac{BC'}{BC}=\frac{3}{4}orBC'=\frac{3}{4}BC$

$\Rightarrow \frac{C'A'}{CA}=\frac{3}{4}orC'A'=\frac{3}{4}CA$

स्पष्ट है कि ΔA’BC’ की भुजाएँ ΔABC की संगत भुजाओं की ¾ गुनी है।

CHAPTER-11 रचनाएँ

प्रश्न 6: एक त्रिभुज ABC बनाइये जिसमें BC=7 सेमी ,∠B=45°,∠A=105° हो। फिर

एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए ,जिसकी भुजाएँ ΔABC की संगत भुजाओं की 4/3

गुनी हो।

हल: दिया है :ΔABC में BC=7 सेमी ,∠B=45°,∠A=105°

∵ ∠A+∠B+∠C=180°

∴∠C=180°−(∠A+∠B)

=180°−(105°+45°)

=180°−(150°)

⇒∠C=30°

CLASS 10 MATHS

रचना के चरण:

1 ) सर्वप्रथम स्केल की सहायता से BC=7 सेमी का रेखाखण्ड खींचा।

2 )रेखाखण्ड BC के बिंदु B व C पर क्रमशः 45° व 30° के कोण की रचना की।

3 ) दोनों कोण जिस बिंदु पर मिले उसे A नाम दिया जो 105° प्राप्त हुआ। इस

प्रकार त्रिभुज ABC प्राप्त हुआ।

4 ) रेखाखण्ड BC के नीचे की ओर न्यूनकोण बनाती हुई किरण BX खींची।

5 )BX किरण पर चार बिंदु इस प्रकार अंकित किए कि BB₁=B₁B₂=B₂B₃=B₃B₄

है।

6 ) स्केल की सहायता से B₃को C से मिलाया।

7 )बिंदु B₄ से B₃C के समान्तर रेखा खींची जो BC को आगे बढ़ाने पर बिंदु C’ पर

मिलती है।

9 ) अब बिंदु C’ से CA के समान्तर रेखा खींची जो BA को आगे बढ़ाने पर बिंदु A’ पर

मिलती है।

10 ) इस प्रकार प्राप्त त्रिभुज A’BC’ ही अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ ΔABC की

संगत भुजाओं की 4/3 गुनी है।

औचित्य (उत्पति):

ΔB₄BC’ तथा ΔB₃BC में,

∠B =∠B (उभयनिष्ठ कोण )

∠BB₄C’=∠BB₃C (रचना से)

∴ ΔB₄BC’ ∼ ΔB₃BC (AA समरूपता कसौटी से)

∴ आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से ,

$\frac{B_{4}B}{B_{3}B}=\frac{BC'}{BC}=\frac{C'B_{4}}{CB_{3}}$

$\Rightarrow \frac{B_{4}B}{B_{3}B}=\frac{BC'}{BC}$

परन्तु रचना से ,

$\frac{B_{4}B}{B_{3}B}=\frac{4}{3}$

$\therefore \frac{BC'}{BC}=\frac{4}{3}$

इसी प्रकार ΔA’BC’∼ΔABC

अतः आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से ,

$\frac{A'B}{AB}=\frac{BC'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}=\frac{4}{3}[\because \frac{BC'}{BC}=\frac{4}{3}]$

$\Rightarrow \frac{A'B}{AB}=\frac{4}{3}orA'B=\frac{4}{3}AB$

$\Rightarrow \frac{BC'}{BC}=\frac{4}{3}orBC'=\frac{4}{3}BC$

$\Rightarrow \frac{C'A'}{CA}=\frac{4}{3}orC'A'=\frac{4}{3}CA$

स्पष्ट है कि त्रिभुज A’BC’ की भुजाएँ ΔABC की संगत भुजाओं की 4/3 गुनी है।

CHAPTER-11 रचनाएँ

प्रश्न 7: एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए ,जिसकी भुजाएँ (कर्ण के अतिरिक्त)

4 सेमी तथा 3 सेमी लम्बाई की हो। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए ,जिसकी

भुजाएँ ΔABC की संगत भुजाओं की 5/3 गुनी हो।

हल: माना की समकोण ΔABC इस प्रकार है कि

∠B=90°,BC=4 सेमी तथा AB=3 सेमी है।

CLASS 10 MATHS

रचना के चरण:

1 ) सर्वप्रथम स्केल की सहायता से BC=4 सेमी का रेखाखण्ड खींचा।

2 ) रेखाखण्ड BC के बिंदु B पर परकार की सहायता से 90° के कोण की रचना की

जो BY किरण बनाती है।

3 ) बिंदु B से किरण BY पर परकार की सहायता से 3 सेमी का चाप काटा जिससे

बिंदु A प्राप्त हुआ।

4 ) A व C को मिलाया। इस प्रकार त्रिभुज ABC प्राप्त हुआ।

5 ) रेखाखण्ड BC के नीचे की ओर न्यूनकोण बनाती हुई किरण BX खींची।

6 )BX किरण पर पाँच बिंदु इस प्रकार अंकित किए कि BB₁=B₁B₂=B₂B₃=

B₃B₄=B₄B₅ है।

7 ) स्केल की सहायता से B₃को C से मिलाया।

8 ) बिंदु B₅ से B₃C के समान्तर रेखा खींची जो BC को आगे बढ़ाने पर बिंदु C’ पर

मिलती है।

9 ) अब बिंदु C’ से CA के समान्तर रेखा खींची जो BY पर बिंदु A’ पर मिलती है।

10 ) इस प्रकार प्राप्त त्रिभुज A’BC’ ही अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ ΔABC की

संगत भुजाओं की 5/3 गुनी है।

औचित्य (उत्पति):

ΔB₅BC’ तथा ΔB₃BC में,

∠B =∠B (उभयनिष्ठ कोण )

∠BB₅C’=∠BB₃C (रचना से)

∴ ΔB₅BC’ ∼ ΔB₃BC (AA समरूपता कसौटी से)

∴ आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से ,

$\frac{B_{5}B}{B_{3}B}=\frac{BC'}{BC}=\frac{B_{5}C'}{B_{3}C}$

$\Rightarrow \frac{B_{5}B}{B_{3}B}=\frac{BC'}{BC}$

परन्तु रचना से ,

$\frac{B_{5}B}{B_{3}B}=\frac{5}{3}$

$\therefore \frac{BC'}{BC}=\frac{5}{3}$

इसी प्रकार ΔA’BC’∼ΔABC

अतः आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से ,

$\frac{A'B}{AB}=\frac{BC'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}=\frac{5}{3}[\because \frac{BC'}{BC}=\frac{5}{3}]$

$\Rightarrow \frac{A'B}{AB}=\frac{5}{3}orA'B=\frac{5}{3}AB$

$\Rightarrow \frac{BC'}{BC}=\frac{5}{3}orBC'=\frac{5}{3}BC$

$\Rightarrow \frac{C'A'}{CA}=\frac{5}{3}orC'A'=\frac{5}{3}CA$

स्पष्ट है कि त्रिभुज A’BC’ की भुजाएँ ΔABC की संगत भुजाओं की 5/3 गुनी है।

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प्रश्नावली-11.1

प्रश्न 3: 5 सेमी, 6 सेमी और 7 सेमी भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और

फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए ,जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत

भुजाओं की 7/5 गुनी हो।

प्रश्न 5: एक त्रिभुज ABC बनाइये जिसमें BC=6 सेमी ,AB=5 सेमी, और ∠ABC=60°

हो। फिर एक त्रिभुज की रचना कीजिए ,जिसकी भुजाएँ ΔABC की संगत भुजाओं की

¾ गुनी हो।

प्रश्न 7: एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए ,जिसकी भुजाएँ (कर्ण के अतिरिक्त)

4 सेमी तथा 3 सेमी लम्बाई की हो। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए ,जिसकी

भुजाएँ ΔABC की संगत भुजाओं की 5/3 गुनी हो।

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