CLASS 10 MATHS CHAPTER-11रचनाएँ (11.2)

CLASS 10 MATHS

CHAPTER-11 रचनाएँ

प्रश्नावली 11.2

निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए रचना का औचित्य भी दीजिए :

प्रश्न 1: 6 सेमी त्रिज्या का एक वृत खींचिए। केन्द्र से 10 सेमी दूर एक बिंदु से वृत पर

स्पर्श रेखा युग्म की रचना कीजिए और उनकी लंबाइयाँ मापकर लिखिए।

हल: माना कि 6 सेमी त्रिज्या के वृत के केन्द्र से 10 सेमी दूर एक बिंदु P है।

रचना के चरण:

1 ) सर्वप्रथम परकार की सहायता से 6 सेमी त्रिज्या का एक वृत खींचा जिसके केंद्र को

O नाम दिया।

2 ) स्केल की सहायता से केंद्र O से 10 सेमी दूर एक बिंदु P लिया और O व P को

मिलाया।

3 ) परकार की सहायता से रेखाखण्ड OP की समद्विभाजक रेखा खींची जो OP को

बिंदु M पर काटती है।

4 ) M को केंद्र मानकर OM त्रिज्या का एक वृत खींचा जो केंद्र O वाले वृत को T₁ व

T₂ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।

5 ) बिंदु P को T₁ व T₂ से मिलाया। इस प्रकार वृत की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ PT₁ व PT₂

प्राप्त हुई।

स्पर्श रेखा की लम्बाई नापने पर, PT₁= PT₂=8 सेमी

औचित्य (उपपत्ति):

बिंदु O को T₁ व T₂ से मिलाया।

∵ OP, केंद्र M वाले वृत का व्यास है।

अतः ∠OT₁P=∠OT₂P=90°(∵अर्द्धवृत में बने कोण समकोण होते है।)

हम जानते है कि किसी वृत की स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लम्ब होती है।

यहाँ OT₁⊥PT₁ तथा OT₂⊥PT₂

अतः PT₁ व PT₂ वृत की स्पर्श रेखाएँ है।

 

प्रश्न 2: 4 सेमी त्रिज्या के एक वृत पर 6 सेमी त्रिज्या के एक संकेन्द्रीय वृत के किसी

बिंदु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लम्बाई मापिए। परिकलन से

इस माप की जाँच भी कीजिए।

हल: माना कि दो संकेन्द्रीय वृत C₁ व C₂ है। C₂ वृत पर कोई बिंदु P है जिससे स्पर्श

रेखा खींचनी है।

रचना के चरण:

1 ) सर्वप्रथम परकार की सहायता से एक ही केंद्र O से क्रमशः 4 सेमी और 6 सेमी त्रिज्या

के दो वृत C₁ व C₂खींचे।

2 ) वृत C₂ पर एक बिंदु P लिया जिसे केंद्र O से मिलाया।

3 ) रेखाखण्ड OP का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो OP को M बिंदु पर काटता है।

4 ) बिंदु M को केंद्र मानकर MP त्रिज्या का एक वृत खींचा जो वृत C₁ को T₁ व T₂ पर

काटता है।

5 ) बिंदु P को T₁ व T₂ से मिलाया। इस प्रकार वृत की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ PT₁ व PT₂

प्राप्त हुई।

स्पर्श रेखा की लम्बाई नापने पर, PT₁= PT₂=4.5 सेमी(लगभग)

औचित्य (उपपत्ति):

बिंदु O को T₁ व T₂ से मिलाया।

∵ OP, केंद्र M वाले वृत का व्यास है।

अतः ∠OT₁P=∠OT₂P=90°(∵अर्द्धवृत में बने कोण समकोण होते है।)

हम जानते है कि किसी वृत की स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लम्ब होती है।

यहाँ OT₁⊥PT₁ तथा OT₂⊥PT₂

अतः PT₁ व PT₂ वृत की स्पर्श रेखाएँ है।

स्पर्श रेखा का परिकलन:

समकोण ΔOPT₁ में ,पाइथोगोरस प्रमेय से

PT₁ =√(OP² −OT₁²)

=√(6² −4²)

=√(36−16)

=√20=4.5 सेमी (लगभग)

 

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प्रश्न 3: 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत खींचिए। इसके किसी बढ़ाए गए व्यास पर केंद्र से

7 सेमी की दूरी पर स्थित दो बिंदु P और Q लीजिए। इन दोनों बिन्दुओं से वृत पर स्पर्श

रेखाएँ खींचिए।

हल: माना की 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत है जिसका केंद्र O है। इसका व्यास AOB है

जिसके सिरों A व B को क्रमशः P व Q बिंदु तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि

OP =OQ =7 सेमी हो।

रचना के चरण:

1 ) सर्वप्रथम परकार की सहायता से 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत खींचा जिसके केंद्र को

O नाम दिया।

2 ) स्केल की सहायता से व्यास AB खींचा, जिसके सिरों A व B को क्रमशः P व Q बिंदु

तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि OP =OQ =7 सेमी हो।

3 ) परकार की सहायता से रेखाखण्ड OP व OQ की समद्विभाजक रेखा खींची जो OP व

OQ को क्रमशः बिंदु M व N पर काटती है।

4 ) बिंदु M को केंद्र मानकर MP त्रिज्या का एक वृत खींचा जो वृत को T₁ व T₂ बिंदुओं

पर काटता है।

5 ) बिंदु P को T₁ व T₂ से मिलाया।

6 ) बिंदु N को केंद्र मानकर NQ त्रिज्या का एक वृत खींचा जो वृत को S₁ व S₂ पर

काटता है।

7 ) बिंदु Q को S₁ व S₂ से मिलाया।

इस प्रकार हमें वृत की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ PT₁ व PT₂ तथा QS₁ व QS₂ प्राप्त हुई।

औचित्य (उपपत्ति):

बिंदु O को T₁ व T₂ तथा S₁ व S₂ से मिलाया।

∵ OP, केंद्र M वाले वृत का व्यास है तथा OQ ,केंद्र N वाले वृत का व्यास है

अतः ∠OT₁P=∠OT₂P=90°(∵अर्द्धवृत में बने कोण समकोण होते है।)

तथा  ∠OS₁Q=∠OS₂Q=90°(∵अर्द्धवृत में बने कोण समकोण होते है।)

हम जानते है कि किसी वृत की स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लम्ब होती है।

अतः यहाँ OT₁⊥PT₁ तथा OT₂⊥PT₂

और OS₁⊥QS₁ तथा OS₂⊥QS₂

अतः PT₁ व PT₂ तथा QS₁ व QS₂ वृत की स्पर्श रेखाएँ है।

 

प्रश्न 4: 5 सेमी त्रिज्या के एक वृत पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए ,जो परस्पर 60°

के कोण पर झुकी हो।

हल:

रचना के चरण:

1 ) सर्वप्रथम परकार की सहायता से 5 सेमी त्रिज्या का एक वृत खींचा जिसके केंद्र को

O नाम दिया।

2 ) केंद्र O पर (180°−60°=) 120° के कोण पर झुकी दो त्रिज्याएँ OA व OB खींची।

3 ) OA व OB पर क्रमशः लम्ब AX व BY खींचे। 

4 ) लम्ब AX व BY जिस बिंदु पर मिलते है उसे C नाम दिया।

5 ) इस प्रकार हमें अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ AC व BC प्राप्त हुई जो परस्पर 60°के कोण

पर झुकी है।

औचित्य (उपपत्ति):

चतुर्भुज OACB में कोण योग गुण से ,

∠O+∠A+∠C+∠B=360°

120°+90°+∠C+∠90°=360°

∠C+300°=360°

∠C=360°−300°=60°

अतः प्राप्त स्पर्श रेखाएँ AC व BC परस्पर 60°के कोण पर झुकी है।

 

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प्रश्न 5: 8 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। A को केंद्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या

का एक वृत तथा B को केंद्र मानकर 3 सेमी त्रिज्या का एक अन्य वृत खींचिए। प्रत्येक

वृत पर दूसरे वृत के केंद्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।

हल: दिया है : AB=8 सेमी।

रचना के चरण:

1 ) सर्वप्रथम AB=8 सेमी का रेखाखण्ड खींचा।

2 ) बिंदु A को केंद्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या तथा B को केंद्र मानकर 3 सेमी त्रिज्या का

एक वृत खींचा।

3 ) रेखाखण्ड AB का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो AB को M बिंदु पर काटता है।

4 ) बिंदु M को केंद्र मानकर MA त्रिज्या का एक वृत खींचा जो A केंद्र वाले वृत को S₁

व S₂ बिंदुओं पर तथा B केंद्र वाले वृत को T₁ व T₂ बिंदुओं पर काटता है।

5 ) बिंदु A को T₁ व T₂ से मिलाया तथा बिंदु B को S₁ व S₂ से मिलाया।

इस प्रकार हमें A केंद्र वाले वृत की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ BS₁ व BS₂ प्राप्त हुई। तथा

B केंद्र वाले वृत की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ AT₁ व AT₂ प्राप्त हुई।

औचित्य (उपपत्ति):

A को S₁ व S₂ से तथा B को T₁ व T₂ से मिलाया।

∵ M केंद्र वाले वृत का व्यास AB है।

∴ ∠BT₁A=∠BT₂A=90°(∵अर्द्धवृत में बने कोण समकोण होते है।)

तथा  ∠AS₁B=∠AS₂B=90°(∵अर्द्धवृत में बने कोण समकोण होते है।)

अतः यहाँ BT₁⊥AT₁ तथा BT₂⊥AT₂

और AS₁⊥BS₁ तथा AS₂⊥BS₂

हम जानते है कि किसी वृत की स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लम्ब होती है।

इस प्रकार हमें A केंद्र वाले वृत की स्पर्श रेखाएँ BS₁ व BS₂ है। तथा

B केंद्र वाले वृत की स्पर्श रेखाएँ AT₁ व AT₂ है।

 

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प्रश्न 6: माना ABC एक समकोण त्रिभुज है ,जिसमें AB=6 सेमी ,BC=8 सेमी तथा

∠B=90° है। B से AC पर BD लम्ब है। बिंदुओं B, C व D से होकर जाने वाला एक

वृत खींचा गया है। A से इस वृत पर स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।

हल: दिया है: ΔABC में ,

AB=6 सेमी ,BC=8 सेमी तथा ∠B=90°

B से AC पर BD लम्ब है।

रचना के चरण:

1 ) सर्वप्रथम BC=8 सेमी का रेखाखण्ड खींचा।

2 ) बिंदु B पर 90° के कोण की रचना की।

3 ) बिंदु B से परकार की सहायता से 6 सेमी का चाप काटकर बिंदु A प्राप्त किया।

4 ) बिंदु A को C से मिलाया। इस प्रकार समकोण त्रिभुज ABC प्राप्त हुआ।

5 ) बिंदु B से AC पर लम्ब खींचा जो AC को D बिंदु पर काटता है।

6 ) ΔBCD की भुजाओं BD और CD के लम्ब समद्विभाजक खींचे जो परस्पर O बिंदु

पर मिलते है।

7 ) O को केंद्र मानकर OB त्रिज्या का एक वृत खींचा जो बिंदुओं B, C व D से होकर

गुजरता है।

8 ) बिंदु A से AB के बराबर त्रिज्या का चाप वृत पर काटा जो वृत को बिंदु P पर

मिलता है।

9 ) A व P को मिलाया। AP ही अभीष्ट स्पर्श रेखा है।

औचित्य (उपपत्ति):

∵ ∠ABC =90° (दिया है )

∴ΔABC में ,

AB ⊥OB

अब हम जानते है कि स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।

अतः AB रेखा वृत की स्पर्श रेखा है।

∵ AB=AP

अतः AP भी वृत की स्पर्श रेखा है।

 

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प्रश्न 7: किसी चूड़ी की सहायता से एक वृत खींचिए। वृत के बाहर एक बिंदु लीजिए। इस

बिंदु से वृत पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।

हल:

रचना के चरण:

1 ) सर्वप्रथम चूड़ी की सहायता से एक वृत खींचा। जिसका केंद्र अज्ञात है।

2 ) वृत के केंद्र को ज्ञात करने के लिए वृत में दो जीवाएं AB व CD खींची।

3 ) जीवाओं AB और CD के लम्ब समद्विभाजक खींचे जो परस्पर O बिंदु पर मिलते

है। जो वृत का केंद्र है।

4 ) वृत के बाहर कोई बिंदु P लिया, जिसे केंद्र O से मिलाया।

5 ) परकार की सहायता से रेखाखण्ड OP की समद्विभाजक रेखा खींची जो OP को

बिंदु M पर काटती है।

6 ) M को केंद्र मानकर OM त्रिज्या का एक वृत खींचा जो केंद्र O वाले वृत को T₁ व

T₂ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।

7 ) बिंदु P को T₁ व T₂ से मिलाया। इस प्रकार वृत की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ PT₁ व PT₂

प्राप्त हुई।

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