CLASS 10 MATHS SOLUTIONS IN HINDI
CHAPTER-4 द्विघात समीकरण
प्रश्नावली 4.1
प्रश्न 1: जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है :
(i) (x+1)2 =2(x-3)
हल: x2 +2x+1=2x−6
x2+2x+1−2x+6=0
या x2+0x+7=0
यह ax2+bx+c =0 के प्रकार का समीकरण है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।
(ii) x2−2x=(-2)(3−x)
हल: x2−2x=−6+2x
x2−2x−2x+6=0
या x2−4x+6=0
यह ax2+bx+c =0 के प्रकार का समीकरण है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।
(iii) (x-2)(x+1)=(x-1)(x+3)
हल: x2+x−2x−2=x2+3x−x−3
x2−x−2=x2+2x−3
या x2−x−2−x2−2x+3=0
अर्थात −3x+1=0
यह ax2+bx+c =0 के प्रकार का समीकरण नहीं है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।
(iv) (x-3)(2x+1)=x(x+5)
हल: 2x2+x−6x−3=x2+5x
2x2−5x−3−x2−5x=0
या x2−10x−3=0
यह ax2+bx+c =0 के प्रकार का समीकरण है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।
(v) (2x-1)(x-3)=(x+5)(x-1)
हल: 2x2−6x−x+3= x2−x+5x−5
2x2−7x+3− x2−4x+5=0
या x2−11x+8=0
यह ax2+bx+c =0 के प्रकार का समीकरण है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।
(vi) x2+3x+1=(x−2)2
हल: x2+3x+1=x2−4x+4
x2+3x+1−x2+4x−4=0
या 7x−3=0
यह ax2+bx+c =0 के प्रकार का समीकरण नहीं है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।
(vii) (x+2)3 =2x(x2−1)
हल: x3+8+6x2 +12x=2x3−2x
x3+8+6x2 +12x−2x3+2x=0
−x3+6x2+14x+8=0
यह ax2+bx+c =0 के प्रकार का समीकरण नहीं है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।
(viii) x3 −4x2−x+1= (x-2)3
हल: x3 −4x2−x+1= x3−8−6x2 +12x
x3 −4x2−x+1− x3+8+6x2 −12x=0
या 2x2−13x+9=0
यह ax2+bx+c =0 के प्रकार का समीकरण है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।
प्रश्न 2: निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल 528 m2 है। क्षेत्र की लम्बाई (मीटरों में) चौड़ाई के
दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
हल: माना कि भूखण्ड की चौड़ाई x मीटर है।
तब प्रश्नानुसार ,
भूखण्ड की लम्बाई (2x+1) मीटर होगी।
अतः आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल
x (2x+1)=528
2x2 +x −528 =0
यही अभीष्ट द्विघात समीकरण है।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
हल: माना कि दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक x व x+1 है।
तब प्रश्नानुसार,
x (x+1)=306
x2 +x −306 =0
यही अभीष्ट द्विघात समीकरण है।
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन
वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
हल: माना कि रोहन की वर्तमान आयु x वर्ष है।
∴ रोहन की माँ की आयु (x+26) वर्ष होगी।
अतः 3 वर्ष पश्चात् रोहन की आयु (x+3) वर्ष व माँ की आयु (x+29)वर्ष हो जाएगी।
तब प्रश्नानुसार,
(x+3)(x+29)=360
x2 +29x+3x+87=360
या x2 +32x+87−360=0
∴ x2 +32x−273=0
यही अभीष्ट द्विघात समीकरण है।
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दुरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/h
कम होती ,तो वह उसी दुरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात
करनी है।
हल: माना कि रेलगाड़ी की चाल x km/h है।
तब समय =दूरी/चाल के प्रयोग से
समय =480/x
अब प्रश्नानुसार चाल 8 km/h कम हो तो ,
चाल (x−8) km/h होगी। और समय 3 घंटे बढ़ जाएगा।
∴ समय =(480/x)+3
हम जानते है कि
दूरी =चाल× समय
∴
दोनों पक्षों को x से गुणा करने पर
यही अभीष्ट द्विघात समीकरण है।
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