CLASS 10 MATHS SOLUTIONS
CHAPTER-3
दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
प्रश्नावली 3.4
प्रश्न 1: निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए।
कौनसी विधि अधिक उपयुक्त है ?
(i) x+y =5 और 2x−3y=4
हल: प्रतिस्थापन विधि –
x+y =5
या x =5−y …(1)
2x−3y=4 …(2)
समी.(1) से x का मान समी.(2) में रखने पर
2(5−y)−3y =4
10−2y−3y =4
−5y =4−10
y का उपरोक्त मान समी.(1) में रखने पर
अतः दी गई समीकरण युग्म का हल निम्न है –
विलोपन विधि –
x+y =5 …(1)
2x−3y=4 …(2)
3×समी.(1)+समी.(2) से
x का मान समी.(1) में रखने पर
अतः दी गई समीकरण युग्म का हल निम्न है –
(प्रश्न 1 के शेष प्रश्न भी इसी प्रकार दोनों विधियों से हल किए जा सकते है।
आपको जो विधि उपयुक्त लगे उसी के लिए उत्तर में उपयुक्त शब्द का प्रयोग
करें। यहां शेष प्रश्न विलोपन विधि से हल किए गए है।)
प्रश्न1 :हल:(ii)
3x+4y =10 ….(1)
2x−2y =2 ….(2)
समी.(1)+2×समी.(2)करने पर
∴ x=2
समी.(1) में x=2 रखने पर
3(2)+4y =10
4y =10−6
∴ y =1
अतः दी गई समीकरण युग्म का हल x=2 व y =1 है।
प्रश्न1 :हल:(iii)
3x−5y−4 =0 और 9x =2y+7
3x−5y=4 …(1)
9x−2y=7 …(2)
3×समी.(1)−समी.(2) करने पर
समी.(1) में y का मान रखने पर
39x+25 =52
या 39x =52−25
अतः दी गई समीकरण युग्म का हल निम्न है –
प्रश्न1 :हल:(iv)
प्रत्येक पद को 6 से गुणा करने पर
3x+4y =−6 …(1)
तथा
प्रत्येक पद को 3 से गुणा करने पर
3x−y =9 …(2)
समी.(1)−समी.(2) करने पर
∴ y=−3
समी.(2) में y=-3 का मान रखने पर
3x−(−3)=9
या 3x=9−3
∴ x=2
अतः दी गई समीकरण युग्म का हल x=2 व y =−3 है।
प्रश्न 2: निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो )
विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दे तथा हर में से 1 घटा दे ,तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दे ,
तो यह 1/2 हो जाती है। वह भिन्न क्या है ?
हल: माना कि भिन्न का अंश x व हर y है।
तब प्रश्नानुसार ,
x+1 = y−1
या x−y =−2 …(1)
तथा
वज्र गुणन करने पर
2x =y+1
या 2x−y =1 …(2)
समी.(1)−समी.(2) करने पर
या x =3
समी.(1) में x =3 रखने पर
3−y =−2
−y =−2−3
y =5
अतः दी गई समीकरण युग्म का हल x=3 व y =5 है।
अतः अभीष्ट भिन्न 3/5 होगी।
प्रश्न 2: (ii) पांच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात् ,नूरी की
आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है ?
हल: माना कि नूरी की आयु x वर्ष तथा सोनू की आयु y वर्ष है।
तब प्रश्नानुसार ,स्थिति-I
पांच वर्ष पूर्व नूरी की आयु x−5 तथा सोनू की आयु y−5 रही होगी।
अतः x−5 =3( y−5)(क्यों?)
(क्योंकि नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी)
x−5 =3y−15
या x−3y =−10 …(1)
प्रश्नानुसार ,स्थिति-II
दस वर्ष पश्चात् नूरी की आयु x+10 तथा सोनू की आयु y+10 होगी।
अतः x+10=2(y+10)(क्यों?)
(क्योंकि नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी)
x+10=2y+20
या x−2y =20−10
x−2y =10 …(2)
समी.(1)−समी.(2) करने पर
∴ y=20
समी.(2) में y=20 रखने पर
x−2(20) =10
या x =10+40
∴ x=50
अतः नूरी की आयु 50 वर्ष तथा सोनू की आयु 20 वर्ष है।
प्रश्न 2: (iii) दो अंको की संख्या के अंको का योग 9 है। इस संख्या का 9 गुना ,संख्या के अंको को
पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: माना कि संख्या का इकाई अंक x व दहाई अंक y है।
तब संख्या 10y+x होगी।
(जब भी दो अंको की संख्या से सम्बंधित सवाल आए तो आप उसका प्रसारित रूप
अर्थात 10y+x या 10x+y ही लें ना की xy या yx)
अब प्रश्नानुसार।
x+y =9 …(1)
(क्योंकि संख्या के अंको का योग 9 है)
9(10y+x)=2(10x+y)(कैसे?)
(क्योंकि संख्या 10y+x है और इसको पलटेंगे तो संख्या 10x+y बन जाएगी।
और इस संख्या का 9 गुना ,पलटने से बनी संख्या का 2 गुना है।)
90y+9x =20x+2y
या 90y−2y+9x−20x =0
88y−11x =0
प्रत्येक पद को −11 से भाग देने पर
x−8y =0 …(2)
समी.(1)−समी.(2) करने पर
∴ y=1
समी.(1) में y =1 रखने पर
x+1=9
x=9−1
∴ x=8
अतः अभीष्ट संख्या 10(1)+8 अर्थात 18 है।
प्रश्न 2: (iv) मीना 2000 रु निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजाँची से 50 रु तथा 100 रु के
नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने 50 रु और 100 रु
के कितने-कितने नोट प्राप्त किए।
हल: माना कि मीना ने 50 रु के x और 100 रु के y नोट प्राप्त किए।
तब प्रश्नानुसार ,
50x+100y =2000 (क्योंकि कुल 2000 रु निकाले गए)
प्रत्येक पद में 50 का भाग देने पर
x+2y =40 …(1)
तथा x+y =25 …(2)
(क्योंकि नोटों की कुल संख्या 25 है।)
समी.(1)−समी.(2) करने पर
समी.(2) में y =15 रखने पर
x+15=25
या x=25−15
∴ x=10
मीना ने 50 रु के 10 और 100 रु के 15 नोट प्राप्त किए।
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