CLASS 10 MATHS SOLUTIONS CHAPTER-10 (10.2)

CLASS 10 MATHS SOLUTIONS CHAPTER-10

वृत्त

प्रश्नावली 10.2

प्रश्न सं. 1 ,2 ,3 में सही विकल्प चुनिए एवं उचित कारण दीजिए।

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प्रश्न 1: एक बिन्दु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 24 सेमी तथा Q की केन्द्र से

दूरी 25 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या है :

(A) 7 सेमी (B) 12 सेमी

उत्तर: (A) 7 सेमी

हल: माना कि O केंद्र वाले एक वृत्त के केंद्र से 25 सेमी की दूरी पर Q बिन्दु स्थित है ,

जिससे वृत्त पर 24 सेमी लम्बी स्पर्श रेखा PQ खींची गई है।

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∴ ∠OPQ =90° (क्योंकि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।)

तब समकोण ΔOPQ में ,पाइथागोरस प्रमेय से,

OP²=OQ² −PQ²

=(25)² −(24)²

= 665−576 =49

⇒OP=√49 =7 सेमी

प्रश्न 2: चित्र में ,यदि TP, TQ केंद्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार है कि

∠POQ =110°, तो ∠PTQ बराबर है :

(A) 60° (B) 70° (C) 80° (D) 90°

उत्तर: (B) 70°

हल: चित्र में ,

∠OPT =∠OQT =90°(क्यों ?)

(क्योंकि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।)

अतः चतुर्भुज POQT में ,

∠POQ+∠OQT+∠OPT+∠PTQ=360°

110°+90°+90°+∠PTQ=360°

∠PTQ=360°−290°

⇒∠PTQ=70°

प्रश्न 3: यदि एक बिंदु P से O केंद्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80°

के कोण पर झुकी हो, तो ∠POA है :

(A) 50° (B) 60° (C) 70° (D) 80°

उत्तर: (A) 50°

हल: CLASS 10 MATHS SOLUTIONS

चित्र में ,

∠APB=80° (दिया है)

∠OAP =∠OBP =90°(क्यों ?)

(क्योंकि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।)

अतः चतुर्भुज AOBP में ,

∠AOB+∠OBP+∠OAP+∠APB=360°

∠AOB+90°+90°+80°=360°

∠AOB=360°−260°

⇒∠AOB=100°

अब चूँकि हम जानते है कि OP रेखा ∠AOB को समद्विभाजित करती है।

∴ ∠POA =½∠AOB

= ½×100°

⇒∠POA =50°

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प्रश्न 4: सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ

समान्तर होती है।

हल: दिया है : एक वृत्त जिसका केंद्र O तथा व्यास PQ है। तथा AB व CD क्रमशः P

व Q बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ है।

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सिद्ध करना है: AB ∥ CD

उपपत्ति: ∵ OP⊥ AB (क्योंकि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।)

∴ ∠APO=90° …(1)

इसी प्रकार ,

OQ ⊥ CD

∴ ∠CQO=90° …(2)

(1) व (2) से

∠APO+∠CQO=90°+90°=180°

अब हम जानते है कि किन्ही दो रेखाओं को काटने वाली तिर्यक रेखा के एक ही ओर बने

अन्तः कोणों का योग 180°है ,तो वह दोनों रेखाएँ परस्पर समान्तर होती है।

∴ AB ∥ CD

स्पष्ट है कि किसी वृत्त के व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान्तर होती है।

प्रश्न 5: सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केंद्र से

होकर जाता है।

हल: दिया है: एक वृत्त जिसका केंद्र O है तथा AB, P बिंदु पर स्पर्श रेखा है।

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सिद्ध करना है: लम्ब PQ ,केंद्र O से होकर जाता है।

उपपत्ति: माना कि PQ ⊥ AB ,परन्तु PQ ,O से होकर नहीं गुजरता है।

तब O को P से मिलाया।

∵ हम जानते है कि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।

∴ AB ⊥OP

⇒∠OPB=90°

परन्तु ∠QPB =90° (रचना से)

∴ ∠OPB=∠QPB, यह तभी सम्भव है ,जब केंद्र O, PQ पर स्थित हो।

अर्थात हमारी प्रारंभिक कल्पना गलत है।

अतः स्पष्ट है कि PQ ⊥ AB ,तथा PQ ,केंद्र O से होकर गुजरता है।

प्रश्न 6: एक बिंदु A से ,जो एक वृत्त के केंद्र से 5 सेमी दूरी पर है ,वृत्त पर स्पर्श रेखा

की लम्बाई 4 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल: दिया है: एक वृत्त जिसका केंद्र O है। केंद्र O से 5 सेमी की दूरी पर कोई बिन्दु A

है। स्पर्श रेखा की लम्बाई AB =4 सेमी है।

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∵ हम जानते है कि वृत्त पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब

होती है। अतः ∠OBA =90°

अब समकोण ΔOBA में पाइथागोरस प्रमेय से ,

OA²=OB²+BA²

(5)²=OB²+(4)²

OB²=25−16

OB=√9=3 सेमी

अतः दिए गए वृत्त की त्रिज्या 3 सेमी है।

प्रश्न 7: दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी तथा 3 सेमी है। बड़े वृत्त की उस जीवा

की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।

हल: दिया है: O केंद्र वाले दो संकेन्द्रिय वृत्त है ,जिनकी त्रिज्याएँ OA तथा OP क्रमशः

5 सेमी तथा 3 सेमी है।

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बड़े वृत्त की एक जीवा AB इस प्रकार है कि वह छोटे व्रत को P बिंदु पर स्पर्श करती है।

∴ OP ⊥ AB (क्योंकि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।)

⇒ ∠OPA =90°

अब समकोण ΔOPA में पाइथागोरस प्रमेय से ,

OA²=OP²+AP²

(5)²=(3)²+AP²

⇒AP²=25−9

AP=√16=4 सेमी

अब हम जानते है कि किसी वृत्त की जीवा पर केंद्र से डाला गया लम्ब जीवा को

समद्विभाजित करता है।

अतः AP =BP =4 सेमी

⇒AB =AP +BP

=4 +4 =8 सेमी

अतः जीवा की लम्बाई 8 सेमी है।

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प्रश्न 8: एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है। सिद्ध कीजिए :

AB+CD=AD+BC

हल: दिया है : O केंद्र वाले वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा ,जिसकी भुजाएँ

AB ,BC ,CD व DA वृत्त को क्रमशः P ,Q ,R व S पर स्पर्श करती है।

सिद्ध करना है : AB+CD=AD+BC

उपपत्ति : हम जानते की वृत्त के बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ लम्बाई

में बराबर होती है।

अतः चित्र में ,

AP =AS …(1)

BP =BQ …(2)

CR =CQ …(3)

DR =DS …(4)

समी (1),(2),(3) व (4) को जोड़ने पर ,

AP+BP+CR+DR=AS+BQ+CQ+DS

(AP+BP)+(CR+DR)=(AS+DS)+(BQ+CQ)

AB+CD =AD+BC

इति सिद्धम।

प्रश्न 9: आकृति में XY और X’Y’ ,O केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ

है और स्पर्श बिंदु C पर स्पर्श रेखा AB ,XY को A पर तथा X’Y’ को B पर प्रतिच्छेद

करती है। सिद्ध कीजिए कि ∠AOB =90° है।

हल: दिया है : XY और X’Y’ ,O केंद्र वाले वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ है,जो वृत्त

को क्रमशः P व Q बिंदु पर स्पर्श करती है और स्पर्श बिंदु C पर स्पर्श रेखा AB ,XY

को A पर तथा X’Y’ को B पर प्रतिच्छेद करती है।

रचना: केंद्र O को C से मिलाया।

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सिद्ध करना है : ∠AOB =90°

उपपत्ति : ∵ बिंदु A से वृत्त पर AP व AC स्पर्श रेखाएँ है।

∴ AP =AC ….(1)

अब ΔOPA व ΔOCA में ,

AP =AC [(1) से ]

OP =OC (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ )

OA =OA (उभयनिष्ठ भुजा)

∴ ΔOPA ≅ ΔOCA (SSS सर्वांगसमता से)

⇒ ∠POA =∠AOC (CPCT से )….(2)

इसी प्रकार ,

बिंदु B से वृत्त पर BQ व BC स्पर्श रेखाएँ है।

∴ BQ =BC ….(3)

ΔOQB व ΔOBC में ,

BQ =BC [(3) से]

OQ =OC (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ )

OB =OB (उभयनिष्ठ भुजा)

∴ ΔOQB ≅ ΔOBC (SSS सर्वांगसमता से)

⇒∠BOQ =∠COB (CPCT से )….(4)

अब चित्र में ,

∠POA+∠AOC+∠COB+∠BOQ=180°

समी (2) व (4) से ,

∠AOC+∠AOC+∠COB+∠COB=180°

2(∠AOC+∠COB)=180°

∠AOC+∠COB=180°/2

⇒∠AOB=90°

इति सिद्धम।

प्रश्न 10: सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं

के बीच का कोण स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड द्वारा केंद्र पर अन्तरित कोण

का सम्पूरक होता है।

हल: दिया है: एक वृत्त जिसका केंद्र O है ,पर बाह्य बिंदु P से स्पर्श रेखाएँ PA व PB

खींची गई है। तथा स्पर्श बिंदु A व B को केंद्र O से मिलाया गया है।

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सिद्ध करना है: ∠AOB+∠APB=180°

उपपत्ति: हम जानते है कि स्पर्श रेखा ,स्पर्श बिंदु से खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।

∴ OA ⊥ AP तथा OB ⊥ BP

⇒∠OAP =90° तथा ∠OBP =90° ….(1)

अब चतुर्भुज OAPB में ,

∠OAP+∠APB+∠OBP+∠AOB=360° (क्योंकि चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है।)

90°+∠APB+90°+∠AOB=360° [(1) से]

⇒∠APB+∠AOB=360°−180°

∠APB+∠AOB=180°

स्पष्ट है कि ∠APB व ∠AOB सम्पूरक है।

इति सिद्धम।

प्रश्न 11: सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।

हल: दिया है: O केंद्र वाले वृत्त के परिगत एक समांतर चतुर्भुज ABCD है जिसकी

भुजाएँ वृत्त को क्रमशः P,Q,R व S पर स्पर्श करती है।

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सिद्ध करना है: ABCD एक समचतुर्भुज है।

उपपत्ति: हम जानते की वृत्त के बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ लम्बाई

में बराबर होती है।

अतः चित्र में ,

AP =AS …(1)

BP =BQ …(2)

CR =CQ …(3)

DR =DS …(4)

समी (1),(2),(3) व (4) को जोड़ने पर ,

AP+BP+CR+DR=AS+BQ+CQ+DS

(AP+BP)+(CR+DR)=(AS+DS)+(BQ+CQ)

AB+CD =AD+BC ….(5)

पुनः चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है ,

∴ AB=CD तथा BC =AD (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ) ….(6)

समी (6) का प्रयोग समी (5) में करने पर ,

AB+AB =BC+BC

2AB=2BC

⇒AB=BC=CD=DA

स्पष्ट है कि ABCD एक समचतुर्भुज है।

इति सिद्धम।

प्रश्न 12: 4 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा

गया है कि रेखाखण्ड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिंदु D द्वारा BC विभाजित है ) की

लम्बाईयाँ क्रमशः 8 सेमी और 6 सेमी है। भुजाएँ AB व AC ज्ञात कीजिए।

हल: दिया है: 4 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC खींचा गया है।

त्रिभुज की भुजाएँ BC ,CA तथा AB वृत्त को क्रमशः D ,E व F बिन्दुओ पर स्पर्श करती है।

रचना: OF ,OE ,OA ,OB व OC को मिलाया।

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∵ किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ लम्बाई में बराबर होती है।

∴ माना कि AE =AF =x सेमी है।

तथा CE=CD=6 सेमी

और BF=BD=8 सेमी

∵ हम जानते है कि स्पर्श रेखा ,स्पर्श बिंदु से खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।

∴ OD⊥BC ,OE⊥AC ,तथा OF⊥AB

अब ΔABC में ,

a =BC =(6+8) सेमी =14 सेमी

b =AC =(x+6) सेमी

c =AB =(x+8) सेमी

∴ अर्धपरिमाप

$s=\frac{a+b+c}{2}$

$s=\frac{14+x+6+x+8}{2}$

$s=\frac{2x+28}{2}=x+14$

हीरोन के सूत्र से ΔABC का क्षेत्रफल

$=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$=\sqrt{(x+14)[x+14-14][x+14-(x+6)][x+14-(x+8)]}$

$=\sqrt{(x+14)\times x\times 8\times 6}$

$=\sqrt{48x^{2}+672x} ....(1)$

ΔOBC का क्षेत्रफल =½×आधार ×ऊंचाई

=½×14×4 =28 सेमी² ….(2)

ΔBOA का क्षेत्रफल =½×आधार ×ऊंचाई

=½×(x+8)×4 =(16+2x) सेमी² ….(3)

ΔAOC का क्षेत्रफल =½×आधार ×ऊंचाई

=½×(x+6)×4 =(12+2x) सेमी² ….(4)

ΔABC का क्षेत्रफल

=ΔOBC का क्षेत्रफल+ΔBOA का क्षेत्रफल+ΔAOC का क्षेत्रफल

$\sqrt{48x^{2}+672x}=28+(16+2x)+(12+2x)$

$\sqrt{48x^{2}+672x}=4x+56$

$\sqrt{48x^{2}+672x}=4(x+14)$

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर

48x² +672x=16(x+14)²

48x(x+14)=16(x+14)²

दोनों पक्षों में 16(x+14) का भाग देने पर

3x =(x+14)

⇒2x =14

⇒x =14/2 =7

∴ AC =(x+6) सेमी

= 7 +6 =13 सेमी

AB =(x+8) सेमी

= 7 +8 =15 सेमी

प्रश्न 13: सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केंद्र

पर सम्पूरक कोण अन्तरित करती है।

हल: दिया है: O केंद्र वाले वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज PQRS है जिसकी भुजाएँ PQ ,QR,

RS तथा SP वृत्त को क्रमशः L ,M ,N तथा T बिंदुओं पर स्पर्श करती है।

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सिद्ध करना है: ∠POQ+∠SOR=180°

तथा ∠SOP+∠ROQ=180°

रचना: वृत्त के केंद्र O को बिंदु P ,Q ,R ,S ,L ,M ,N और T से मिलाया।

उपपत्ति:

अतः चित्र में ,

QL⊥OL, QM⊥OM, RN⊥ON, तथा ST⊥OT

अब समकोण ΔOMQ तथा ΔOLQ में ,

∠OMQ=∠OLQ (=90°)

OQ =OQ (कर्ण उभयनिष्ट भुजा )

OM =OL (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

∴ ΔOMQ ≅ ΔOLQ (RHS सर्वांगसमता से)

⇒∠3 =∠2 (CPCT से)

इसी प्रकार से

समकोण ΔOMR तथा ΔONR में ,

∠4=∠5

समकोण ΔONS तथा ΔOTS में ,

∠6=∠7

समकोण ΔOTP तथा ΔOLP में ,

∠8=∠1

अब चूँकि वृत्त के केंद्र पर बने सभी कोणों का योग 360° होता है।

∴ ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360°

∠1+∠2+∠2+∠5+∠5+∠6+∠6+∠1=360°

2(∠1+∠2+∠5+∠6)=360°

(∠1+∠2)+(∠5+∠6)=180°

∠POQ+∠SOR=180°

इसी प्रकार

∠SOP+∠ROQ=180°

स्पष्ट है कि वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केंद्र पर सम्पूरक

कोण अन्तरित करती है।

इति सिद्धम।

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