CLASS 10 MATHS SOLUTIONS
CHAPTER-7 निर्देशांक ज्यामिति
प्रश्नावली 7.3
प्रश्न 1: उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष है:
(i) (2,3), (-1,0), (2,-4)
हल: माना कि त्रिभुज PQR के शीर्ष P(2,3), Q(-1,0),व R(2,-4) है।
तब त्रिभुज PQR में
x1=2, x2=−1, x3=2 तथा
y1=3, y2=0, y3=−4
अतः त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल
=½[x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)]
=½[2{0−(−4)}+(−1)(−4−3)+2(3−0)]
=½[2(4)−1(−7)+2(3)]
=½[8+7+6]
=½[21]=10.5 वर्ग इकाई
प्रश्न 1:(ii) (-5,-1), (3,-5), (5,2)
हल: माना कि त्रिभुज PQR के शीर्ष P(-5,-1), Q(3,-5),व R(5,2) है।
तब त्रिभुज PQR में
x1=−5, x2=3, x3=5 तथा
y1=−1, y2=−5, y3=2
अतः त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल
=½[x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)]
=½[(−5)(−5−2)+3{2−(−1)}+5{−1−(−5)]
=½[(−5)(−7)+3(3)+5(4)]
=½[35+9+20]
=½[64]=32 वर्ग इकाई
प्रश्न 2: निम्नलिखित में से प्रत्येक में ‘k’ का मान ज्ञात कीजिए ,ताकि तीनों बिंदु संरेखी हो:
(i) (7,-2), (5,1), (3,k)
हल: माना कि तीनों बिंदु क्रमशः P(7,-2), Q(5,1) व R(3,k) है।
यहाँ
x1=7, x2=5, x3=3 तथा
y1=−2, y2=1, y3=k
∵ तीनों बिंदु संरेखी है अतः त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल शून्य होगा।
ΔPQR का क्षेत्रफल
=½[x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)]
0=½[7(1−k)+5{k−(−2)}+3(−2−1)]
0=[7−7k+5k+10−9]
0=8−2k
2k=8
k=8/2=4
⇒k=4
प्रश्न 2:(ii) (8,1), (k,-4), (2,-5)
हल: माना कि तीनों बिंदु क्रमशः P(8,1), Q(k,-4) व R(2,-5) है।
यहाँ
x1=8, x2=k, x3=2 तथा
y1=1, y2=−4, y3=−5
∵ तीनों बिंदु संरेखी है अतः त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल शून्य होगा।
ΔPQR का क्षेत्रफल
=½[x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)]
0=½[8{−4−(−5)}+k(−5−1)+2{1−(−4)}]
0=[8−6k+10]
0=18−6k
6k=18
k=18/6=3
⇒k=3
प्रश्न 3: शीर्षों (0,-1), (2,1) और (0,3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं से बनने
वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के
साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि त्रिभुज PQR के शीर्ष P(0,-1), Q(2,1),व R(0,3) है,
तथा भुजा PQ ,QR व RP के मध्य बिंदु क्रमशः A, B व C है।
तब विभाजन सूत्र के प्रयोग से
बिंदु A के निर्देशांक
बिंदु B के निर्देशांक
बिंदु C के निर्देशांक
अब त्रिभुज PQR में
x1=0, x2=2, x3=0 तथा
y1=−1, y2=1, y3=3
अतः त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल
=½[x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)]
=½[0(1−3)+2{3−(−1)}+0(−1−1)}]
=½[0+8+0]
= 4 वर्ग इकाई
पुनः त्रिभुज ABC में
x1=1, x2=1, x3=0 तथा
y1=0, y2=2, y3=1
अतः त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल
=½[x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)]
=½[1(2−1)+1(1−0)+0(0−2)]
=½[1+1+0]
= 1 वर्ग इकाई
अभीष्ट अनुपात
=1:4
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प्रश्न 4: उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष ,इसी क्रम में (-4,-2), (-3,-5)
(3,-2) और (2,3) है।
हल:
माना कि चतुर्भुज ABCD के शीर्ष A(-4,-2), B(-3,-5), C(3,-2) और D(2,3) है।
इस चतुर्भुज ABCD को विकर्ण BD खींचकर दो त्रिभुजों ΔABD व ΔBCD में विभक्त
किया गया है।
अब त्रिभुज ABD में
x1=−4, x2=−3, x3=2 तथा
y1=−2, y2=−5, y3=3
अतः त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल
=½[x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)]
=½[−4(−5−3)+(−3){3−(−2)}+2{−2−(−5)}]
=½[−4(−8)−3(5)+2(3)]
=½[32−15+6]
=½[23]
अब त्रिभुज BCD में
x1=−3, x2=3, x3=2 तथा
y1=−5, y2=−2, y3=3
अतः त्रिभुज BCD का क्षेत्रफल
=½[x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)]
=½[−3(−2−3)+3{3−(−5)}+2{−5−(−2)}]
=½[−3(−5)+3(8)+2(−3)]
=½[15+24−6]
=½[33]
अभीष्ट चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
=ΔABD का क्षेत्रफल+ΔBCD का क्षेत्रफल
= ½[23]+½[33]
=½[23+33]
=½[56]
= 28 वर्ग इकाई
प्रश्न 5: कक्षा IX में आपने पढ़ा है (अध्याय 9 ,उदाहरण 3) कि किसी त्रिभुज की एक
माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज
ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A(4,-6), B(3,-2)और
C(5,2)है।
हल: 
माना कि AD ,त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है।
∴ D, भुजा BC का मध्य बिंदु होगा।
अतः विभाजन सूत्र से भुजा BC के मध्य बिंदु D के निर्देशांक
अब ΔABD में
x1=4, x2=3, x3=4 तथा
y1=−6, y2=−2, y3=0
अतः त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल
=½[x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)]
=½[4(−2−0)+3{0−(−6)}+4{−6−(−2)}]
=½[4(−2)+3(6)+4(−4)]
=½[−8+18−16]
=½[−6]=−3
परन्तु क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं हो सकता।
अतः ΔABD का क्षेत्रफल=3 वर्ग इकाई। …(1)
अब ΔACD में
x1=4, x2=5, x3=4 तथा
y1=−6, y2=2, y3=0
अतः ΔACD का क्षेत्रफल
=½[x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)]
=½[4(2−0)+5{0−(−6)}+4(−6−2)]
=½[4(2)+5(6)+4(−8)]
=½[8+30−32]
=½[6]
= 3 वर्ग इकाई। …(2)
(1) व (2) से स्पष्ट है कि
ΔABD का क्षेत्रफल=ΔACD का क्षेत्रफल
अतः सिद्ध होता है की किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले
दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
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