CLASS 10 NCERT SOLUTIONS CHAPTER-4(4.3)

CLASS 10 NCERT SOLUTIONS

CHAPTER-4 द्विघात समीकरण

प्रश्नावली 4.3

प्रश्न 1: यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने

की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।

(i) 2x²−7x+3=0

हल: दी गई द्विघात समीकरण की तुलना ax²+bx+c=0 से करने पर

a=2 ,b=−7, c=3

∴ b² −4ac= (−7)²−4(2)(3)

=49−24=25

∴ b² −4ac >0

अतः मूलों का अस्तित्व है और ये मूल वास्तविक व अलग-अलग होंगे।

पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा हल –

दी गई द्विघात समीकरण के प्रत्येक पद में 2 का भाग देने पर

$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{3}{2}=0$

$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{3}{2}$

दोनों पक्षों में (7/4)² जोड़ने पर

$x^{2}-\frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^{2}=-\frac{3}{2}+(\frac{7}{4})^{2}$

$(x-\frac{7}{4})^{2}=-\frac{3}{2}+(\frac{49}{16})$

$(x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{-24+49}{16}$

$(x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{25}{16}$

$(x-\frac{7}{4})=\sqrt{\frac{25}{16}}$

$(x-\frac{7}{4})=\pm \frac{5}{4}$

$x=\pm \frac{5}{4}+\frac{7}{4}$

‘+’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{5}{4}+\frac{7}{4}=\frac{12}{4}=3$

‘−’ चिन्ह लेने पर

$x=-\frac{5}{4}+\frac{7}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

अतः दी गई द्विघात समीकरण के अभीष्ट मूल 3 व 1/2 है।

प्रश्न 1: (ii) 2x²+x−4=0

हल: दी गई द्विघात समीकरण की तुलना ax²+bx+c=0 से करने पर

a=2 ,b=1 , c=−4

∴ b² −4ac= (1)²−4(2)(−4)

=1 +32 =33

∴ b² −4ac >0

अतः मूलों का अस्तित्व है और ये मूल वास्तविक व अलग-अलग होंगे।

पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा हल –

दी गई द्विघात समीकरण के प्रत्येक पद में 2 का भाग देने पर

$x^{2}+\frac{x}{2}-2=0$

$x^{2}+\frac{x}{2}=2$

दोनों पक्षों में (1/4)² जोड़ने पर

$x^{2}+\frac{x}{2}+(\frac{1}{4})^{2}=2+(\frac{1}{4})^{2}$

$(x+\frac{1}{4})^{2}=2+(\frac{1}{16})$

$(x+\frac{1}{4})^{2}=(\frac{32+1}{16})$

$(x+\frac{1}{4})^{2}=\frac{33}{16}$

$(x+\frac{1}{4})=\sqrt{\frac{33}{16}}$

$(x+\frac{1}{4})=\pm \frac{\sqrt{33}}{4}$

$x=\pm \frac{\sqrt{33}}{4}-\frac{1}{4}$

‘+’ चिन्ह लेने पर

$x= \frac{\sqrt{33}}{4}-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{33}-1}{4}$

‘−’ चिन्ह लेने पर

$x= -\frac{\sqrt{33}}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{33}-1}{4}$

अतः दी गई द्विघात समीकरण के अभीष्ट मूल है –

$\frac{\sqrt{33}-1}{4},-\frac{\sqrt{33}-1}{4}$

प्रश्न 1: (iii) 4x²+4√3x+3=0

हल: दी गई द्विघात समीकरण की तुलना ax²+bx+c=0 से करने पर

a=4, b=4√3, c=3

∴ b² −4ac= (4√3)²−4(4)(3)

=48−48=0

∴ b² −4ac =0

अतः मूलों का अस्तित्व है और ये मूल वास्तविक व बराबर होंगे।

पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा हल –

दी गई द्विघात समीकरण के प्रत्येक पद में 4 का भाग देने पर

$x^{2}+\sqrt{3}x+\frac{3}{4}=0$

$x^{2}+\sqrt{3}x=-\frac{3}{4}$

दोनों पक्षों में (√3/2)² जोड़ने पर

$x^{2}+\sqrt{3}x+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}=-\frac{3}{4}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}$

$(x+\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}=-\frac{3}{4}+(\frac{3}{4})$

$(x+\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}=0$

$(x+\frac{\sqrt{3}}{2})=\sqrt{0}$

$(x+\frac{\sqrt{3}}{2})=\pm 0-\frac{\sqrt{3}}{2}$

अतः दी गई द्विघात समीकरण के अभीष्ट मूल है –

$-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}$

प्रश्न 1: (iv) 2x²+x+4=0

हल: दी गई द्विघात समीकरण की तुलना ax²+bx+c=0 से करने पर

a=2 ,b=1 , c=4

∴ b² −4ac= (1)²−4(2)(4)

=1 −32 =−31

∴ b² −4ac <0

अतः मूलों का अस्तित्व नहीं है।

प्रश्न 2: उपर्युक्त प्रश्न 1 में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल ,द्विघाती सूत्र का उपयोग करके,ज्ञात कीजिए।

हल: (i) 2x²−7x+3=0

दी गई द्विघात समीकरण की तुलना ax²+bx+c=0 से करने पर

a=2 ,b=−7, c=3

द्विघाती सूत्र $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ से

$x=\frac{-(-7)\pm \sqrt{(-7)^{2}-4(2)(3)}}{2(2)}$

$x=\frac{7\pm \sqrt{49-24}}{4}$

$x=\frac{7\pm \sqrt{25}}{4}$

$x=\frac{7\pm 5}{4}$

‘+’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{7+5}{4}=\frac{12}{4}=3$

‘−’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{7-5}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

अतः दी गई द्विघात समीकरण के अभीष्ट मूल 3 व 1/2 है।

प्रश्न 2: (ii) 2x²+x−4=0

हल: दी गई द्विघात समीकरण की तुलना ax²+bx+c=0 से करने पर

a=2 ,b=1 , c=−4

द्विघाती सूत्र $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ से

$x=\frac{-1\pm \sqrt{(1)^{2}-4(2)(-4)}}{2(2)}$

$x=\frac{-1\pm \sqrt{1+32}}{4}$

$x=\frac{-1\pm \sqrt{33}}{4}$

‘+’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{-1+\sqrt{33}}{4}$

‘−’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{-1-\sqrt{33}}{4}$

अतः दी गई द्विघात समीकरण के अभीष्ट मूल है –

$\frac{-1+\sqrt{33}}{4},\frac{-1-\sqrt{33}}{4}$

प्रश्न 2: (iii) 4x²+4√3x+3=0

हल: दी गई द्विघात समीकरण की तुलना ax²+bx+c=0 से करने पर

a=4, b=4√3, c=3

द्विघाती सूत्र $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ से

$x=\frac{-4\sqrt{3}\pm \sqrt{(4\sqrt{3})^{2}-4(4)(3)}}{2(4)}$

$x=\frac{-4\sqrt{3}\pm \sqrt{48-48}}{8}$

$x=\frac{-4\sqrt{3}\pm 0}{8}$

‘+’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{-4\sqrt{3}}{8}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

‘−’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{-4\sqrt{3}}{8}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

अतः दी गई द्विघात समीकरण के अभीष्ट मूल है –

$-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}$

प्रश्न 2: (iv) 2x²+x+4=0

हल: प्रश्न 1 (iv) से स्पष्ट है कि मूलों का अस्तित्व सम्भव नहीं है।

प्रश्न 3: निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :

हल: प्रत्येक पद को x से गुणा करने पर

x²−1=3x

या x²−3x−1=0

द्विघात समीकरण की तुलना ax²+bx+c=0 से करने पर

a=1, b=−3, c=−1

द्विघाती सूत्र $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ से

$x=\frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)}$

$x=\frac{3\pm \sqrt{9+4}}{2}$

$x=\frac{3\pm \sqrt{13}}{2}$

‘+’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$

‘−’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$

अतः दी गई समीकरण के अभीष्ट मूल है –

$\frac{3+\sqrt{13}}{2},\frac{3-\sqrt{13}}{2}$

प्रश्न 3: $(ii)\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30},x\neq -4,7$

हल: $\frac{(x-7)-(x+4)}{(x+4)(x-7)}=\frac{11}{30}$

$\frac{-11}{(x+4)(x-7)}=\frac{11}{30}$

$\frac{-11\times 30}{11}=(x+4)(x-7)$

−30 = x² −7x+4x−28

या x²−3x−28+30=0

∴ x²−3x+2=0

द्विघात समीकरण की तुलना ax²+bx+c=0 से करने पर

a=1, b=−3, c=2

द्विघाती सूत्र $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ से

$x=\frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^{2}-4(1)(2)}}{2(1)}$

$x=\frac{3\pm \sqrt{9-8}}{2}$

$x=\frac{3\pm 1}{2}$

‘+’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2$

‘−’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1$

अतः दी गई समीकरण के मूल 2 व 1 है।

प्रश्न 4: 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षो में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के

व्युत्क्रम का योग 1/3 है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

हल: माना की रहमान की वर्तमान आयु x वर्ष है।

3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (x-3) वर्ष रही होगी ,

∴ 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु का व्युत्क्रम=1/(x−3)

पुनः 5 वर्ष पश्चात् रहमान की आयु (x+5) वर्ष होगी ,

∴ 5 वर्ष पश्चात् रहमान की आयु का व्युत्क्रम=1/(x+5)

अब प्रश्नानुसार,

$\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{3}$

$\frac{(x+5)+(x-3)}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{3}$

$\frac{2x+2}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{3}$

3(2x+2)= 1(x−3)(x+5)

6x+6=x²+5x−3x−15

0=x²+2x−15−6x−6

या x²−4x−21=0

द्विघात समीकरण की तुलना ax²+bx+c=0 से करने पर

a=1, b=−4, c=−21

द्विघाती सूत्र $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ से

$x=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^{2}-4(1)(-21)}}{2(1)}$

$x=\frac{4\pm \sqrt{16+84}}{2}$

$x=\frac{4\pm \sqrt{100}}{2}$

$x=\frac{4\pm 10}{2}$

‘+’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{4+10}{2}=\frac{14}{2}=7$

‘−’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{4-10}{2}=\frac{-6}{2}=-3$

परन्तु आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती।

∴ रहमान की वर्तमान आयु 7 वर्ष होगी।

प्रश्न 5: एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंको का योग 30 है।

यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते ,तो उनके अंको का

गुणनफल 210 होता। उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि शेफाली द्वारा गणित में प्राप्त किए अंक x है।

तब अंग्रेजी में प्राप्त किए अंक (30−x) होंगे। (क्यों?)

(क्योंकि गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंको का योग 30 है,तो गणित के अंक x है

तो अंग्रेजी के अंक 30 में से x को घटाने पर प्राप्त होंगे।)

प्रश्नानुसार ,

गणित में 2 अंक अधिक अर्थात (x+2) और अंग्रेजी में 3 अंक कम अर्थात (30-x-3) या

(27-x) मिले होते, तो उनके अंको का गुणनफल 210 होता।

अर्थात (x+2)(27−x)=210

27x−x² +54−2x=210

−x² +25x+54−210=0

या −x² +25x−156=0

प्रत्येक पद को “-” चिन्ह से गुणा करने पर

x² −25x+156=0

द्विघात समीकरण की तुलना ax²+bx+c=0 से करने पर

a=1, b=−25 , c=156

द्विघाती सूत्र $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ से

$x=\frac{-(-25)\pm \sqrt{(-25)^{2}-4(1)(156)}}{2(1)}$

$x=\frac{25\pm \sqrt{625-624}}{2}$

$x=\frac{25\pm 1}{2}$

‘+’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{25+1}{2}=\frac{26}{2}=13$

‘−’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{25-1}{2}=\frac{24}{2}=12$

अतः जब शेफाली ने गणित में x=13 अंक प्राप्त किए ,

तो अंग्रेजी में (30−x)=(30−13)=17 अंक प्राप्त किए।

और जब शेफाली ने गणित में x=12 अंक प्राप्त किए ,

तो अंग्रेजी में (30−x)=(30−12)=18 अंक प्राप्त किए।

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MATHS CLASS 10 NCERT SOLUTIONS

प्रश्न 6: एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी अधिक लम्बा है।

यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक हो ,तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि छोटी भुजा x मी है।

तब प्रश्नानुसार

खेत का विकर्ण (x+60) मी होगा ,

तथा बड़ी भुजा (x+30) मी होगी।

अब हम जानते है कि आयताकार खेत का विकर्ण व बड़ी व छोटी भुजाएँ मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाएगी।

∴ पाइथोगोरस प्रमेय से

(कर्ण)² =(लम्ब)² +(आधार)²

(x+60)² =(x)² +(x+30)²

x²+120x+3600=x² +x²+60x+900

या x²+120x+3600−2x² −60x−900=0

−x²+60x+2700=0

या x²−60x−2700=0

द्विघात समीकरण की तुलना ax²+bx+c=0 से करने पर

a=1, b=−60 , c=−2700

द्विघाती सूत्र $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ से

$x=\frac{-(-60)\pm \sqrt{(-60)^{2}-4(1)(-2700)}}{2(1)}$

$x=\frac{60\pm \sqrt{3600+10800}}{2}$

$x=\frac{60\pm \sqrt{14400}}{2}$

$x=\frac{60\pm 120}{2}$

‘+’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{60+120}{2}=\frac{180}{2}=90$

‘−’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{60-120}{2}=\frac{-60}{2}=-30$

परन्तु खेत की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती ,

∴ x =90 लेने पर

खेत की छोटी भुजा 90 मी तथा

बड़ी भुजा (x+30)=(90+30)=120 मी होगी।

प्रश्न 7: दो संख्याओं के वर्गों का अंतर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है।

दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि बड़ी सँख्या x व छोटी सँख्या y है।

तब प्रश्नानुसार स्थिति I

x²−y² =180 …(1)

तथा स्थिति-II

y² =8x …(2)

समी. (2) से y² का मान समी. (1) में रखने पर

x²−8x =180

x²−8x−180=0

द्विघात समीकरण की तुलना ax²+bx+c=0 से करने पर

a=1, b=−8, c=−180

द्विघाती सूत्र $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ से

$x=\frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^{2}-4(1)(-180)}}{2(1)}$

$x=\frac{8\pm \sqrt{64+720}}{2}$

$x=\frac{8\pm \sqrt{784}}{2}$

$x=\frac{8\pm 28}{2}$

‘+’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{8+28}{2}=\frac{36}{2}=18$

‘−’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{8-28}{2}=\frac{-20}{2}=-10$

परन्तु यहां x का मान ऋणात्मक संभव नहीं है।

(क्योंकि यदि x का ऋणात्मक मान समी.(2) में रखते है, तो y² का मान ऋणात्मक प्राप्त होगा ,

जबकि किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता। )

∴ x=18 समी.(2) में रखने पर

y² =8(18)

या y² =144

∴ y =√144 =12

अतः बड़ी सँख्या 18 व छोटी सँख्या 12 है।

प्रश्न 8: एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360 km की दूरी तय करती है। यदि यह चाल

5 km/h अधिक होती तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती। रेलगाड़ी की चाल

ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि रेलगाड़ी की चाल x km/h है।

तब समय =दूरी/चाल से

360 km दूरी तय करने में लगा समय = 360/x घंटे

पुनः प्रश्नानुसार ,

जब चाल (x+5) km/h होती है,

तब 360 km दूरी तय करने में लगा समय = $(\frac{360}{x}-1)$ घंटे (क्यों?)

[क्योंकि चाल 5 km/h {अर्थात (x+5) km/h}अधिक होती तो रेलगाड़ी उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती।]

अतः दूरी = चाल×समय से

$360=(x+5)(\frac{360}{x}-1)$

दोनों पक्षों को x से गुणा करने पर

360x =(x+5)(360−x)

या 360x =360x−x²+1800−5x

⇒x²+5x−1800 =0

द्विघात समीकरण की तुलना ax²+bx+c=0 से करने पर

a=1, b=5 , c=−1800

द्विघाती सूत्र $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ से

$x=\frac{-5\pm \sqrt{(5)^{2}-4(1)(-1800)}}{2(1)}$

$x=\frac{-5\pm \sqrt{25+7200}}{2}$

$x=\frac{-5\pm \sqrt{7225}}{2}$

$x=\frac{-5\pm 85}{2}$

‘+’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{-5+85}{2}=\frac{80}{2}=40$

‘−’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{-5-85}{2}=\frac{-90}{2}=-45$

परन्तु रेलगाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती।

अतः x =40 लेने पर

रेलगाड़ी की चाल 40 km/h होगी।

प्रश्न 9: दो पानी के नल एक साथ एक हौज को घंटो में भर सकते है। बड़े व्यास वाला नल हौज

को भरने में ,कम व्यास वाले नल से 10 घंटे कम समय लेता है। प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को

भरने के समय ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि छोटे व्यास वाले नल द्वारा हौज को भरने में लिया गया समय x घंटे है।

तब प्रश्नानुसार ,

बड़े व्यास वाले नल द्वारा हौज को भरने में लिया गया समय (x-10) घंटे होगा।

(क्योंकि बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में ,कम व्यास वाले नल से 10 घंटे कम समय लेता है।)

अब x घंटे में छोटे व्यास वाले नल द्वारा भरा गया हौज का भाग =1

∴ 1 घंटे में छोटे व्यास वाले नल द्वारा भरा गया हौज का भाग =1/x

पुनः (x−10) घंटे में बड़े व्यास वाले नल द्वारा भरा गया हौज का भाग =1

∴ 1 घंटे में बड़े व्यास वाले नल द्वारा भरा गया हौज का भाग =1/(x−10)

अतः 1 घंटे में दोनों नलों द्वारा भरा गया हौज का भाग = $\frac{1}{x}+\frac{1}{x-10}$ …(1)

परन्तु प्रश्नानुसार ,

$\inline 9\frac{3}{8}$ (या 75/8) घंटे में दोनों नलों द्वारा भरा गया हौज का भाग=1

∴ 1 घंटे में दोनों नलों द्वारा भरा गया हौज का भाग= $\frac{1}{75/8}$ या $\frac{8}{75}$ …(2)

(1) व (2) से

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-10}=\frac{8}{75}$

$\frac{x-10+x}{x(x-10)}=\frac{8}{75}$

75(2x−10)=8x(x−10)

150x−750= 8x² −80x

8x² −80x−150x+750=0

या 8x² −230x+750=0

प्रत्येक पद में 2 का भाग देने पर

4x² −115x+375=0

द्विघात समीकरण की तुलना ax²+bx+c=0 से करने पर

a=4, b=−115 , c=375

द्विघाती सूत्र $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ से

$x=\frac{-(-115)\pm \sqrt{(-115)^{2}-4(4)(375)}}{2(4)}$

$x=\frac{115\pm \sqrt{13225-6000}}{8}$

$x=\frac{115\pm \sqrt{7225}}{8}$

$x=\frac{115\pm 85}{8}$

‘+’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{115+85}{8}=\frac{200}{8}=25$

‘−’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{115-85}{8}=\frac{30}{8}=3.75$

यदि हम यहां x=3.75 लेते है,

तो बड़े व्यास वाले नल के लिए समय (3.75−10)=−6.25 घंटे आएगा।

परन्तु समय ऋणात्मक नहीं हो सकता।

∴ x =25 लेने पर

छोटे व्यास वाले नल द्वारा हौज को भरने में लिया गया समय 25 घंटे होगा।

तथा बड़े व्यास वाले नल द्वारा हौज को भरने में लिया गया समय (25-10)=15 घंटे होगा।

प्रश्न 10: मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132 km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी ,

सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में

न लिया जाए ) यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल ,सवारी गाड़ी की औसत चाल से

11 km/h अधिक हो ,तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि सवारी गाड़ी की औसत चाल x km/h है।

तब प्रश्नानुसार ,एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल (x+11) km/h होगी।

अब 132 km की दूरी तय करने में ,

सवारी गाड़ी को लगा समय = $\frac{132}{x}$ घंटे (समय =दूरी/चाल से)

तथा एक्सप्रेस गाड़ी को लगा समय = $\frac{132}{x+11}$ घंटे

पुनः प्रश्नानुसार ,

$\frac{132}{x}=\frac{132}{x+11}+1$ (कैसे?)

(क्योंकि एक्सप्रेस रेलगाड़ी ,सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है,अर्थात एक्सप्रेस गाड़ी

के समय में 1 घंटा अगर जोड़ दिया जाए तो दोनों गाड़ियों के समय बराबर हो जाएंगे। )

$\frac{132}{x}=\frac{132+x+11}{x+11}$

132(x+11) =x(x+143)

या 132x +1452= x²+143x

x²+143x−132x −1452=0

x²+11x −1452=0

द्विघात समीकरण की तुलना ax²+bx+c=0 से करने पर

a=1, b=11 , c=−1452

द्विघाती सूत्र $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ से

$x=\frac{-11\pm \sqrt{(11)^{2}-4(1)(-1452)}}{2(1)}$

$x=\frac{-11\pm \sqrt{121+5808}}{2}$

$x=\frac{-11\pm \sqrt{5929}}{2}$

$x=\frac{-11\pm77}{2}$

‘+’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{-11+77}{2}=\frac{66}{2}=33$

‘−’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{-11-77}{2}=\frac{-88}{2}=-44$

परन्तु चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती।

∴ x =33 लेने पर

सवारी गाड़ी की औसत चाल x=33 km/h होगी।

तथा एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल (x+11)=(33+11)=44 km/h होगी।

प्रश्न 11: दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m² है। यदि उनके परिमापों का अंतर 24 m

हो ,तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि पहले वर्ग की भुजा x मीटर है ,

तो इस पहले वर्ग का परिमाप 4x मीटर होगा। (वर्ग का परिमाप =4×भुजा से)

∴ दूसरे वर्ग का परिमाप (4x+24) या 4(x+6) मीटर होगा। (क्योंकि परिमापों का अंतर 24 m है।)

अर्थात दूसरे वर्ग की भुजा (x+6) मीटर होगी।

अब पहले वर्ग का क्षेत्रफल = x² (वर्ग का क्षेत्रफल=भुजा² से )

तथा दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल =(x+6)²

प्रश्नानुसार ,

दोनो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m² है।

∴ x² +(x+6)² =468

x² +x² +12x+36=468

2x² +12x+36−468=0

2x² +12x−432=0

प्रत्येक पद में 2 का भाग देने पर

x² +6x−216=0

द्विघात समीकरण की तुलना ax²+bx+c=0 से करने पर

a=1, b=6 , c=−216

द्विघाती सूत्र $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ से

$x=\frac{-6\pm \sqrt{(6)^{2}-4(1)(-216)}}{2(1)}$

$x=\frac{-6\pm \sqrt{36+864}}{2}$

$x=\frac{-6\pm \sqrt{900}}{2}$

$x=\frac{-6\pm 30}{2}$

‘+’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{-6+30}{2}=\frac{24}{2}=12$

‘−’ चिन्ह लेने पर

$x=\frac{-6-30}{2}=\frac{-36}{2}=-18$

परन्तु वर्ग की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती।

अतः x =12 लेने पर

पहले वर्ग की भुजा x=12 मीटर होगी।

तथा दूसरे वर्ग की भुजा (x+6)=(12+6)=18 मीटर होगी।

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CLASS 10 NCERT SOLUTIONS

प्रश्नावली 4.1