CLASS 10th MATHS CHAPTER-8(8.4)

CLASS 10th MATHS

CHAPTER-8

त्रिकोणमिति का परिचय

प्रश्नावली 8.4

प्रश्न 1: त्रिकोणमितीय अनुपातों sin A, sec A और tan A को cot A के पदों में

व्यक्त कीजिए।

हल: sin A का cot A के पदों में रूपान्तरण ⇒

$\because sinA=\frac{1}{cosecA}$

परन्तु cosec²A=1+cot²A

या cosec A=√(1+cot²A)

$\therefore sinA=\frac{1}{\sqrt{1+cot^{2}A}}$

sec A का cot A के पदों में रूपान्तरण ⇒

∵ sec²A=1+tan²A

या sec A=√(1+tan²A)

$secA=\sqrt{1+\frac{1}{cot^{2}A}}$

$secA=\sqrt{\frac{cot^{2}A+1}{cot^{2}A}}$

$\therefore secA=\frac{\sqrt{1+cot^{2}A}}{cotA}$

tan A का cot A के पदों में रूपान्तरण ⇒

$tanA=\frac{1}{cotA}$

प्रश्न 2: ∠A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A के पदों में लिखिए।

हल: sin A का sec A के पदों में रूपान्तरण ⇒

∵ sin²A+cos²A=1

∴ sin²A=1−cos²A

$sin^{2}A=1-\frac{1}{sec^{2}A}=\frac{sec^{2}A-1}{sec^{2}A}$

$sinA=\sqrt{\frac{sec^{2}A-1}{sec^{2}A}}$

$\Rightarrow sinA=\frac{\sqrt{sec^{2}A-1}}{secA}$ …(1)

cos A का sec A के पदों में रूपान्तरण ⇒

$cosA=\frac{1}{secA}$ …(2)

tan A का sec A के पदों में रूपान्तरण ⇒

∵ 1+tan²A=sec²A

∴ tan²A=sec²A−1

⇒tan A=√(sec²A−1)…(3)

cot A का sec A के पदों में रूपान्तरण ⇒

$\because cotA=\frac{1}{tanA}$

$\therefore cotA=\frac{1}{\sqrt{sec^{2}A-1}}$ [परिणाम (3) से]

cosec A का sec A के पदों में रूपान्तरण ⇒

$\because cosecA=\frac{1}{sinA}$

$\therefore cosecA=\frac{1}{\frac{\sqrt{sec^{2}A-1}}{secA}}$ [परिणाम (1) से]

$\Rightarrow cosecA=\frac{secA}{\sqrt{sec^{2}A-1}}$

प्रश्न 3: मान निकालिए :

$(i)\frac{sin^{2}63^{\circ}+sin^{2}27^{\circ}}{cos^{2}17^{\circ}+cos^{2}73^{\circ}}$

हल: $=\frac{sin^{2}(90^{\circ}-27^{\circ})+sin^{2}27^{\circ}}{cos^{2}(90^{\circ}-73^{\circ})+cos73^{\circ}}$

$=\frac{cos^{2}27^{\circ}+sin^{2}27^{\circ}}{sin^{2}73^{\circ}+cos73^{\circ}}$

[∵sin(90°−θ)=cosθ तथा cos(90°−θ)=sinθ]

$=\frac{1}{1}=1$ [∵sin²θ+cos²θ=1]

(ii) sin 25° cos 65° +cos 25° sin 65°

हल:=sin25°cos(90°−25°)+cos25°sin(90°−25°)

=sin25°sin25°+cos25°cos25°

[∵sin(90°−θ)=cosθ तथा cos(90°−θ)=sinθ]

=sin²25°+cos²25°

=1 [∵sin²θ+cos²θ=1]

प्रश्न 4: सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए :

(i) 9 sec²A−9 tan²A बराबर है :

(A) 1 (B) 9

(C) 8 (D) 0

हल: 9 sec²A−9 tan²A =9(1+tan²A)−9 tan²A

=9+9tan²A−9 tan²A

अतः सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 4:(ii) (1+tanθ+secθ)(1+cotθ−cosecθ) बराबर है :

(A) 0 (B) 1

(C) 2 (D) −1

हल:(1+tanθ+secθ)(1+cotθ−cosecθ)

$=(1+\frac{sin\theta }{cos\theta }+\frac{1}{cos\theta })(1+\frac{cos\theta }{sin\theta }-\frac{1}{sin\theta })$

$=(\frac{cos\theta +sin\theta +1}{cos\theta })(\frac{sin\theta +cos\theta -1}{sin\theta })$

$=\frac{(sin\theta +cos\theta )^{2}-1^{2}}{sin\theta cos\theta }$

$=\frac{(sin^{2}\theta +cos^{2}\theta +2sin\theta cos\theta )-1^{2}}{sin\theta cos\theta }$

$=\frac{1 +2sin\theta cos\theta -1}{sin\theta cos\theta }$ [∵sin²θ+cos²θ=1]

$=\frac{2sin\theta cos\theta }{sin\theta cos\theta }$

= 2

अतः सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 4:(iii) (sec A+tan A)(1−sin A) बराबर है :

(A) sec A (B) sin A

(C) cosec A (D) cos A

हल:(sec A+tan A)(1−sin A)

$=(\frac{1}{cosA}+\frac{sinA}{cosA})(1-sinA)$

$=(\frac{1+sinA}{cosA})(1-sinA)$

$=\frac{1-sin^{2}A}{cosA}$

$=\frac{cos^{2}A}{cosA}=cosA$ [∵1−sin²A=cos²A]

अतः सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 4: $(iv)\frac{1+tan^{2}A}{1+cot^{2}A}$ बराबर है :

(A) sec² A (B) −1

(C) cot² A (D) tan² A

हल: $\frac{1+tan^{2}A}{1+cot^{2}A}=\frac{sec^{2}A}{cosec^{2}A}$

$=\frac{\frac{1}{cos^{2}A}}{\frac{1}{sin^{2}A}}$

$=\frac{sin^{2}A}{cos^{2}A}=tan^{2}A$

अतः सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 5: निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए ,जहाँ वे कोण ,जिनके लिए व्यंजक

परिभाषित है ,न्यूनकोण है :

$(i)(cosec\theta -cot\theta)^{2}=\frac{1-cos\theta}{1+cos\theta}$

हल:L.H.S.=(cosecθ−cotθ)²

$=(\frac{1}{sin\theta }-\frac{cos\theta }{sin\theta })^{2}$

$=(\frac{1-cos\theta }{sin\theta })^{2}$

$=\frac{(1-cos\theta )^{2}}{sin^{2}\theta }=\frac{(1-cos\theta )^{2}}{1-cos^{2}\theta }$

$=\frac{(1-cos\theta )^{2}}{(1-cos\theta )(1+cos\theta )}$ [∵a²−b²=(a+b)(a-b)]

$=\frac{(1-cos\theta )}{(1+cos\theta )}=R.H.S.$

H.P.

$(ii)\frac{cosA}{1+sinA}+\frac{1+sinA}{cosA}=2secA$

हल: $L.H.S.=\frac{cosA}{1+sinA}+\frac{1+sinA}{cosA}$

$=\frac{cos^{2}A+(1+sinA)^{2}}{cosA(1+sinA)}$

$=\frac{cos^{2}A+(1+sin^{2}A+2sinA)}{cosA(1+sinA)}$

$=\frac{(cos^{2}A+sin^{2}A)+1+2sinA}{cosA(1+sinA)}$

$=\frac{1+1+2sinA}{cosA(1+sinA)}=\frac{2+2sinA}{cosA(1+sinA)}$ [∵sin²θ+cos²θ=1]

$=\frac{2(1+sinA)}{cosA(1+sinA)}=\frac{2}{cosA}$

=2secA=R.H.S.

H.P.

$(iii)\frac{tan\theta }{1-cot\theta }+\frac{cot\theta }{1-tan\theta }=1+sec\theta cosec\theta$

हल: $L.H.S.=\frac{tan\theta }{1-cot\theta }+\frac{cot\theta }{1-tan\theta }$

$=\frac{\frac{sin\theta }{cos\theta }}{1-\frac{cos\theta }{sin\theta }}+\frac{\frac{cos\theta }{sin\theta }}{1-\frac{sin\theta }{cos\theta }}$

[∵tanθ=sinA/cosA, cotA=cosA/sinA]

$=\frac{\frac{sin\theta }{cos\theta }}{\frac{sin\theta -cos\theta }{sin\theta }}+\frac{\frac{cos\theta }{sin\theta }}{\frac{cos\theta -sin\theta }{cos\theta }}$

$=\frac{sin\theta }{cos\theta }\times \frac{sin\theta }{(sin\theta -cos\theta )}+\frac{cos\theta }{sin\theta }\times \frac{cos\theta }{(cos\theta -sin\theta )}$

$= \frac{sin^{2}\theta }{cos\theta (sin\theta -cos\theta )}+\frac{cos^{2}\theta }{sin\theta (cos\theta -sin\theta )}$

$= \frac{sin^{2}\theta }{cos\theta (sin\theta -cos\theta )}-\frac{cos^{2}\theta }{sin\theta (sin\theta -cos\theta )}$

$= \frac{sin^{3}\theta -cos^{3}\theta }{sin\theta cos\theta (sin\theta -cos\theta )}$

$= \frac{(sin\theta -cos\theta )(sin^{2}\theta +cos^{2}\theta+sin\theta cos\theta ) }{sin\theta cos\theta (sin\theta -cos\theta )}$

$= \frac{(1+sin\theta cos\theta ) }{sin\theta cos\theta }$ [∵sin²θ+cos²θ=1]

$= \frac{1}{sin\theta cos\theta }+\frac{sin\theta cos\theta }{sin\theta cos\theta }$

=cosecθsecθ+1

=1+secθ cosecθ

=R.H.S.

H.P.

$(iv)\frac{1+secA}{secA}=\frac{sin^{2}A}{1-cosA}$

हल: $L.H.S.=\frac{1+secA}{secA}$

$=\frac{1+\frac{1}{cosA}}{\frac{1}{cosA}}$ [∵secA=1/cosA]

$=\frac{\frac{cosA+1}{cosA}}{\frac{1}{cosA}}$

$=\frac{cosA+1}{cosA}\times \frac{cosA}{1}$

=1+cosA

$=(1+cosA)\times \frac{(1-cosA)}{(1-cosA)}$

$=\frac{(1^{2}-cos^{2}A)}{(1-cosA)}$

$=\frac{sin^{2}A}{1-cosA}=R.H.S.$

[∵1−cos²A=sin²A]

H.P.

(v) सर्वसमिका cosec²A=1+cot²A को लागू करके सिद्ध कीजिए कि:

$\frac{cosA-sinA+1}{cosA+sinA-1}=cosecA+cotA$

हल: $L.H.S.=\frac{cosA-sinA+1}{cosA+sinA-1}$

अंश व हर में sinA का भाग देने पर

$=\frac{\frac{cosA-sinA+1}{sinA}}{\frac{cosA+sinA-1}{sinA}}$

$=\frac{\frac{cosA}{sinA}-\frac{sinA}{sinA}+\frac{1}{sinA}}{\frac{cosA}{sinA}+\frac{sinA}{sinA}-\frac{1}{sinA}}$

$=\frac{cotA-1+cosecA}{cotA+1-cosecA}$

$=\frac{(cotA+cosecA)-1}{(1-cosecA+cotA)}$

$=\frac{(cotA+cosecA)-(cosec^{2}A-cot^{2}A)}{(1-cosecA+cotA)}$ [∵1=cosec²A−cot²A]

$=\frac{(cotA+cosecA)-(cosecA-cotA)(cosecA+cotA)}{(1-cosecA+cotA)}$

$=\frac{(cotA+cosecA)(1-cosecA+cotA)}{(1-cosecA+cotA)}$

=cosecA+cotA

=R.H.S.

H.P.

$(vi)\sqrt{\frac{1+sinA}{1-sinA}}=secA+tanA$

हल: $L.H.S.=\sqrt{\frac{1+sinA}{1-sinA}}$

$=\sqrt{\frac{1+sinA}{1-sinA}}\times \sqrt{\frac{1+sinA}{1+sinA}}$

$=\sqrt{\frac{(1+sinA)^{2}}{1^{2}-sin^{2}A}}$

$=\frac{(1+sinA)}{\sqrt{cos^{2}A}}$

$=\frac{(1+sinA)}{cosA}$

$=\frac{1}{cosA}+\frac{sinA}{cosA}$

= secA +tanA[∵1/cosA=secA, sinA/cosA=tanA]

=R.H.S.

H.P.

$(vii)\frac{sin\theta -2sin^{3}\theta }{2cos^{3}\theta -cos\theta }=tan\theta$

हल: $L.H.S.=\frac{sin\theta -2sin^{3}\theta }{2cos^{3}\theta -cos\theta }$

$=\frac{sin\theta (1 -2sin^{2}\theta )}{cos\theta (2cos^{2}\theta -1)}$

$=tan\theta \frac{[(sin^{2}\theta +cos^{2}\theta ) -2sin^{2}\theta ]}{[(2cos^{2}\theta -(sin^{2}\theta +cos^{2}\theta )]}$ [∵1=sin²θ+cos²θ]

तथा [∵ sinA/cosA=tanA]

$=tan\theta \frac{[cos^{2}\theta -sin^{2}\theta ]}{[cos^{2}\theta -sin^{2}\theta ]}$

= tan θ

=R.H.S.

H.P.

(viii) (sin A+cosec A)²+(cos A+sec A)²=7+tan²A+cot²A

हल:L.H.S.=(sin A+cosec A)²+(cos A+sec A)²

=(sin²A+cosec²A+2inAcosecA)+(cos²A+sec²A+2cosAsecA)

=(sin²A+cos²A)+(cosec²A+sec²A)+2(sinAcosecA+cosAsecA)

$=1+[(1+cot^{2}A)+(1+tan^{2}A)]+2(sinA\times \frac{1}{sinA}+cosA\times \frac{1}{cosA})$

[∵ 1+tan²A=sec²A, 1+cot²A=cosec²A]

तथा [∵sin²θ+cos²θ=1]

= 1+2+cot²A+tan²A+2(1+1)

=3+tan²A+cot²A+4

=7+tan²A+cot²A

=R.H.S.

H.P.

$(ix)(cosecA-sinA)(secA-cosA)=\frac{1}{tanA+cotA}$

हल:L.H.S.=(cosecA−sinA)(secA−cosA)

$=(\frac{1}{sinA}-sinA)(\frac{1}{cosA}-cosA)$

$=(\frac{1-sin^{2}A}{sinA})(\frac{1-cos^{2}A}{cosA})$

$=(\frac{cos^{2}A}{sinA})(\frac{sin^{2}A}{cosA})$

[∵ 1-sin²A=cos²A, 1-cos²A=sin²A]

=sinAcosA

$=\frac{1}{\frac{1}{sinAcosA}}$

$=\frac{1}{\frac{sin^{2}A+cos^{2}A}{sinAcosA}}$

$=\frac{1}{\frac{sinA}{cosA}+\frac{cosA}{sinA}}$ [∵sin²θ+cos²θ=1]

$=\frac{1}{tanA+cotA}$

=R.H.S.

H.P.

$(x)(\frac{1+tan^{2}A}{1+cot^{2}A})=(\frac{1-tanA}{1-cotA})^{2}=tan^{2}A$

हल: $(\frac{1+tan^{2}A}{1+cot^{2}A})=\frac{sec^{2}A}{cosec^{2}A}$

[∵ 1+tan²A=sec²A, 1+cot²A=cosec²A]

$=\frac{\frac{1}{cos^{2}A}}{\frac{1}{sin^{2}A}}=\frac{sin^{2}A}{cos^{2}A}$

=tan²A ….(1)

$[\frac{1-tanA}{1-cotA}]^{2}=[\frac{1-\frac{sinA}{cosA}}{1-\frac{cosA}{sinA}}]^{2}$

$=[\frac{\frac{cosA-sinA}{cosA}}{\frac{sinA-cosA}{sinA}}]^{2}$

$=[\frac{cosA-sinA}{cosA}\times \frac{sinA}{-(cosA-sinA)}]^{2}$

$=[-\frac{sinA}{cosA}]^{2}=tan^{2}A....(2)$

[∵ sinA/cosA=tanA]

(1) व (2) से

$(\frac{1+tan^{2}A}{1+cot^{2}A})=(\frac{1-tanA}{1-cotA})^{2}=tan^{2}A$

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त्रिकोणमिति का परिचय

प्रश्नावली 8.4

प्रश्न 4: सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए :

प्रश्न 5: निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए ,जहाँ वे कोण ,जिनके लिए व्यंजक

परिभाषित है ,न्यूनकोण है :

(viii) (sin A+cosec A)2+(cos A+sec A)2=7+tan2A+cot2A

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(viii) (sin A+cosec A)²+(cos A+sec A)²=7+tan²A+cot²A