MATHS FOR CLASS 10 CHAPTER-14 सांख्यिकी (14.3)

MATHS FOR CLASS 10

CHAPTER-14 सांख्यिकी

प्रश्नावली 14.3

MATHS FOR CLASS 10 CHAPTER-14

प्रश्न 1: निम्नलिखित बारम्बारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली

की मासिक खपत दर्शाता है। इन आंकड़ों से माध्यक ,माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए।

इनकी तुलना भी कीजिए।

मासिक खपत (इकाइयों में)

उपभोक्ताओं की संख्या

65-85

85-105

105-125

125-145

145-165

165-185

185-205

हल: माध्यक:-

मासिक खपत (इकाइयों में)

उपभोक्ताओं की संख्या (f_i)

संचयी बारम्बारता (c.f.)

65-85

85-105

105-125

125-145

145-165

165-185

185-205

योग

∑f_i =N=68

यहाँ N =68

∴ N/2 =68/2=34 ,

संचयी बारम्बारता सारणी में 34 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता का मान 42 है।

अतः 42 के संगत वर्ग अन्तराल 125-145 है।

∴ माध्यक वर्ग 125-145 होगा।

अतः l (माध्यक वर्ग की निम्न सीमा) =125

N (कुल बारम्बारता) =68

C (माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारम्बारता)=22

f (माध्यक वर्ग की बारम्बारता) =20

h (माध्यक वर्ग का अंतराल)=20

∴ माध्यक $(M)=l+(\frac{\frac{N}{2}-C}{f})\times h$

$(M)=125+(\frac{\frac{68}{2}-22}{20})\times 20$

$(M)=125+(34-22)=125+12=137$

अतः माध्यक (M) =137

माध्य:-

माना कल्पित माध्य (A)=135 है।

तथा वर्ग अंतराल (h)=20

मासिक खपत

(इकाइयों में)

उपभोक्ताओं की संख्या

(f_i)

वर्ग चिह्न

(x_i)

d_i=x_i−A

=x_i−135

u_i =d_i/h

=d_i/20

f_iu_i

65-85

85-105

105-125

125-145

145-165

165-185

185-205

115

135

155

175

195

−60

−40

−20

−3

−2

−1

−12

−10

−13

योग

∑f_i =68

∑f_iu_i=7

माध्य $\bar{x}=A+(\frac{\sum f_{i}u_{i}}{\sum f_{i}})\times h$

$\bar{x}=135+(\frac{7}{68})\times 20$

=135+0.1029×20

=135+2.05=137.05

अतः माध्य =137.05

बहुलक:-

दिए गए आंकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 20 है ,जिसके संगत वर्ग अंतराल 125-145 है।

∴ बहुलक वर्ग 125-145 होगा।

∴ l =125, f₁=20, f₀=13, f₂=14 तथा h=20

बहुलक $=l+(\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}})\times h$

$=125+(\frac{20-13}{2(20)-13-14})\times 20$

$=125+(\frac{7}{40-27})\times 20$

$=125+\frac{140}{13}$

=125+10.77(लगभग)

=135.77(लगभग)

अतः दिए गए आंकड़ों का माध्यक 137 ,माध्य 137.05 तथा बहुलक 135.77(लगभग) है।

प्रश्न 2: नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए :

वर्ग-अन्तराल	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	योग
बारम्बारता	5	x	20	15	y	5	60

हल: संचयी बारम्बारता सारणी :

वर्ग-अन्तराल

बारम्बारता (f_i)

संचयी बारम्बारता (c.f.)

0-10

10-20

20-30

30-40

40-50

50-60

5+x

25+x

40+x

40+x+y

45+x+y

योग

∑f_i =N=60

हम जानते है कि अन्तिम संचयी बारम्बारता, बारम्बारताओं के योग के बराबर होती है।

अतः 45+x+y=60

x+y=60−45

⇒ x+y=15 ….(1)

यहाँ N =60

∴ N/2 =60/2=30 ,

तथा बंटन का माध्यक 28.5 है।

28.5 ,वर्ग अन्तराल 20-30 में स्थित होगा।

∴ माध्यक वर्ग 20-30 होगा।

अतः l (माध्यक वर्ग की निम्न सीमा) =20

N (कुल बारम्बारता) =60

C (माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारम्बारता)=5+x

f (माध्यक वर्ग की बारम्बारता) =20

h (माध्यक वर्ग का अंतराल)=10

∴ माध्यक $(M)=l+(\frac{\frac{N}{2}-C}{f})\times h$

$28.5=20+\frac{\frac{60}{2}-(x+5)}{20}\times 10$

$28.5=20+\frac{30-x-5}{2}$

$28.5=20+\frac{25-x}{2}$

प्रत्येक पद को 2 से गुणा करने पर

57=40+25−x

⇒ x=65−57 =8

x=8 समी.(1) में रखने पर

8+y=15

⇒y=15−8 =7

अतः x=8 तथा y=7 है।

प्रश्न 3: एक जीवन बीमा एजेण्ट 100 पॉलिसी धारकों की आयु के बंटन के निम्नलिखित

आंकड़े ज्ञात करता है। माध्यक आयु परिकलित कीजिए ,यदि पॉलिसी केवल उन्ही

व्यक्तियों को दी जाती है ,जिनकी आयु 18 वर्ष या उससे अधिक हो ,परन्तु 60 वर्ष से

कम हो।

आयु (वर्षो में)

पॉलिसी धारकों की संख्या

20 से कम

25 से कम

30 से कम

35 से कम

40 से कम

45 से कम

50 से कम

55 से कम

60 से कम

100

हल: (जब आपको दी गई सारणी में ‘से कम ‘ या ‘से अधिक’ लिखा मिलें तो आपको संचयी बारम्बारता सारणी दी गई होती है।)

आयु (वर्षो में)

संचयी बारम्बारता (c.f.)

पॉलिसी धारकों की संख्या (f_i)

20 से कम

20-25

25-30

30-35

35-40

40-45

45-50

50-55

55-60

100

6-2=4

24-6=18

45-24=21

78-45=33

89-78=11

92-89=3

98-92=6

100-98=2

योग

∑f_i =N=100

यहाँ N =100

∴ N/2 =100/2=50 ,

संचयी बारम्बारता सारणी में 50 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता का मान 78 है।

अतः 78 के संगत वर्ग अन्तराल 35-40 है।

∴ माध्यक वर्ग 35-40 होगा।

अतः l (माध्यक वर्ग की निम्न सीमा) =35

N (कुल बारम्बारता) =100

C (माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारम्बारता)=45

f (माध्यक वर्ग की बारम्बारता) =33

h (माध्यक वर्ग का अंतराल)=5

∴ माध्यक $(M)=l+(\frac{\frac{N}{2}-C}{f})\times h$

$M=35+\frac{\frac{100}{2}-45}{33}\times 5$

$M=35+\frac{5}{33}\times 5$

M= 35+0.7575 =35.76(लगभग)

अतः दिए गए आंकड़ों की माध्यक आयु लगभग 35.76 वर्ष है।

प्रश्न 4: एक पौधे की 40 पत्तियों की लम्बाइयाँ निकटतम मिलिमीटरों में मापी जाती है

तथा प्राप्त आंकड़ों को अग्रलिखित सारणी के रूप में निरूपित किया जाता है :

लम्बाई (मिमी में)

पत्तियों की संख्या

118-126

127-135

136-144

145-153

154-162

163-171

172-180

पत्तियों की माध्यक लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल: दी गई सारणी से स्पष्ट है कि वर्ग सतत नहीं है। अतः सतत वर्ग में बदलकर संचयी बारम्बारता सारणी बनाने पर –

(सतत वर्ग बनाने के लिए आप निम्न सीमा में से 0.5 घटाए तथा ऊपरी सीमा में 0.5 जोड़ें।)

लम्बाई (मिमी में)

पत्तियों की संख्या (f_i)

संचयी बारम्बारता (c.f.)

117.5-126.5

126.5-135.5

135.5-144.5

144.5-153.5

153.5-162.5

162.5-171.5

171.5-180.5

3+5=8

8+9=17

17+12=29

29+5=34

34+4=38

38+2=40

योग

∑f_i =N=40

यहाँ N =40

∴ N/2 =40/2=20 ,

संचयी बारम्बारता सारणी में 20 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता का मान 29 है।

अतः 29 के संगत वर्ग अन्तराल 144.5-153.5 है।

∴ माध्यक वर्ग 144.5-153.5 होगा।

अतः l (माध्यक वर्ग की निम्न सीमा) =144.5

N (कुल बारम्बारता) =40

C (माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारम्बारता)=17

f (माध्यक वर्ग की बारम्बारता) =12

h (माध्यक वर्ग का अंतराल)=9

∴ माध्यक $(M)=l+(\frac{\frac{N}{2}-C}{f})\times h$

$M=144.5+\frac{\frac{40}{2}-17}{12}\times 9$

$M=144.5+\frac{20-17}{4}\times 3$

$M=144.5+\frac{9}{4}$

M=144.5+2.25

⇒माध्यक =146.75

अतः पत्तियों की माध्यक लम्बाई 146.75 मिमी होगी।

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प्रश्न 5: निम्नलिखित सारणी 400 निऑन लैम्पों के जीवनकालों (Life time) को प्रदर्शित करती है :

जीवनकाल (घण्टों में)

लैम्पों की संख्या

1500-2000

2000-2500

2500-3000

3000-3500

3500-4000

4000-4500

4500-5000

एक लैम्प का माध्यक जीवनकाल ज्ञात कीजिए।

हल: संचयी बारम्बारता सारणी:-

जीवनकाल (घण्टों में)

लैम्पों की संख्या (f_i)

संचयी बारम्बारता (c.f.)

1500-2000

2000-2500

2500-3000

3000-3500

3500-4000

4000-4500

4500-5000

14+56=70

70+60=130

130+86=216

216+74=290

290+62=352

352+48=400

योग

∑f_i =N=400

यहाँ N =400

∴ N/2 =400/2=200 ,

संचयी बारम्बारता सारणी में 200 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता का मान 216 है।

अतः 216 के संगत वर्ग अन्तराल 3000-3500 है।

∴ माध्यक वर्ग 3000-3500 होगा।

अतः l (माध्यक वर्ग की निम्न सीमा) =3000

N (कुल बारम्बारता) =400

C (माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारम्बारता)=130

f (माध्यक वर्ग की बारम्बारता) =86

h (माध्यक वर्ग का अंतराल)=500

∴ माध्यक $(M)=l+(\frac{\frac{N}{2}-C}{f})\times h$

$M=3000+\frac{\frac{400}{2}-130}{86}\times 500$

$M=3000+\frac{200-130}{86}\times 500$

$M=3000+\frac{35000}{86}$

M=3000+406.98(लगभग)

⇒माध्यक =3406.98 (लगभग)

अतः एक लैम्प का माध्यक जीवनकाल 3406.98 घण्टे है।

प्रश्न 6: एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surnames) लिए गए और

उनमें प्रयुक्त अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारम्बारता बंटन प्राप्त

हुआ :

अक्षरों की संख्या	1-4	4-7	7-10	10-13	13-16	16-19
कुलनामों की संख्या	6	30	40	16	4	4

कुलनामों में माध्यक अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। कुलनामों में माध्य अक्षरों की संख्या ज्ञात

कीजिए। साथ ही कुलनामों का बहुलक भी ज्ञात कीजिए।

हल: माध्यक के लिए सारणी:-

अक्षरों की संख्या

कुलनामों की संख्या (f_i)

संचयी बारम्बारता (c.f.)

1-4

4-7

7-10

10-13

13-16

16-19

6+30=36

36+40=76

76+16=92

92+4=96

96+4=100

योग

∑f_i =N=100

यहाँ N =100

∴ N/2 =100/2=50 ,

संचयी बारम्बारता सारणी में 50 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता का मान 76 है।

अतः 76 के संगत वर्ग अन्तराल 7-10 है।

∴ माध्यक वर्ग 7-10 होगा।

∴ l =7, N/2 =50 , C=36, f=40, h=3

∴ माध्यक $(M)=l+(\frac{\frac{N}{2}-C}{f})\times h$

$M=7+\frac{50-36}{40}\times 3$

$M=7+\frac{14}{40}\times 3$

M=7+1.05=8.05

अतः माध्यक =8.05

माध्य के लिए सारणी:-

अक्षरों की संख्या

कुलनामों की संख्या

(f_i)

वर्ग चिह्न

(x_i)

f_ix_i

1-4

4-7

7-10

10-13

13-16

16-19

2.5

5.5

8.5

11.5

14.5

17.5

165

340

184

योग

∑f_i =100

∑f_ix_i =832

माध्य $\bar{x}=\frac{\sum f_{i}x_{i}}{\sum f_{i}}$

$\bar{x}=\frac{832}{100}=8.32$

अतः माध्य =8.32

बहुलक:-

दिए गए आंकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 40 है ,जिसके संगत वर्ग अंतराल 7-10 है।

∴ बहुलक वर्ग 7-10 होगा।

∴ l =7, f₁=40, f₀=30, f₂=16 तथा h=3

बहुलक $=l+(\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}})\times h$

$=7+\frac{40-30}{2(40)-30-16}\times 3$

$=7+\frac{10}{80-46}\times 3$

$=7+\frac{30}{34}$

=7+0.88(लगभग)

=7.88

अतः बहुलक =7.88

अतः कुलनामों में ,

माध्यक अक्षरों की संख्या =8.05

माध्य अक्षरों की संख्या=8.32

तथा बहुलक =7.88 है।

प्रश्न 7: नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के भार दर्शा रहा है। विद्यार्थियों

का माध्यक भार ज्ञात कीजिए।

भार (किग्रा में)	40-45	45-50	50-55	55-60	60-65	65-70	70-75
विद्यार्थियों की संख्या	2	3	8	6	6	3	2

हल: संचयी बारम्बारता बंटन सारणी :

भार (किग्रा में)

विद्यार्थियों की संख्या (f_i)

संचयी बारम्बारता (c.f.)

40-45

45-50

50-55

55-60

60-65

65-70

70-75

2+3=5

5+8=13

13+6=19

19+6=25

25+3=28

28+2=30

योग

∑f_i =N=30

यहाँ N =30

∴ N/2 =30/2=15 ,

संचयी बारम्बारता सारणी में 15 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता का मान 19 है।

अतः 19 के संगत वर्ग अन्तराल 55-60 है।

∴ माध्यक वर्ग 55-60 होगा।

अतः l (माध्यक वर्ग की निम्न सीमा) =55

N (कुल बारम्बारता) =30

C (माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारम्बारता)=13

f (माध्यक वर्ग की बारम्बारता) =6

h (माध्यक वर्ग का अंतराल)=5

∴ माध्यक $(M)=l+(\frac{\frac{N}{2}-C}{f})\times h$

$M=55+\frac{\frac{30}{2}-13}{6}\times 5$

$M=55+\frac{15-13}{6}\times 5$

$M=55+\frac{10}{6}$

M=55+1.67(लगभग)=56.67

अतः विद्यार्थियों का माध्यक भार 56.67 किग्रा है।

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