MATHS FOR CLASS 10
CHAPTER-5 समान्तर श्रेढ़ियाँ
प्रश्नावली 5.1
प्रश्न 1: निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में संबद्ध संख्याओं की सूची A.P.है और क्यों ?
(i) प्रत्येक किलोमीटर के बाद का टैक्सी का किराया ,जबकि प्रथम किलोमीटर के
लिए किराया रु 15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया रु 8 है।
हल: चूँकि प्रथम किलोमीटर के लिए किराया रु 15 है,
∴ श्रेढ़ी का प्रथम पद (a)=15
अब प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया रु 8 है।
∴ बनने वाली श्रेढ़ी निम्नानुसार होगी –
15, 23, 31, 39, ….(प्रत्येक पद में 8 जोड़ते जाना है।)
इस श्रेढ़ी में
a2− a1=23−15=8
a3− a2 =31−23=8
उपरोक्त हल से स्पष्ट है कि इस श्रेढ़ी का सार्व अंतर समान है।
अतः बनने वाली श्रेढ़ी A.P. है।
प्रश्न 1: (ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा ,जबकि वायु निकालने
वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का ¼ भाग बाहर निकाल देता है।
हल: माना कि बेलन में प्रारंभिक हवा की मात्रा x है।
तब श्रेढ़ी का प्रथम पद (a)=x होगा।
अब पम्प द्वारा x का ¼ भाग बाहर निकालने पर शेष हवा
(कुल मात्रा x में से x का ¼ भाग अर्थात x/4 भाग घटाना है )
अब शेष मात्रा 3x/4 का ¼ भाग बाहर निकालने पर शेष हवा
(यहां ध्यान रखें कि शेष बची हवा का ¼ अर्थात (3x/4)(1/4) भाग बाहर निकालना है।)
∴ बनने वाली श्रेढ़ी निम्नानुसार होगी –
इस श्रेढ़ी में
उपरोक्त हल से स्पष्ट है कि इस श्रेढ़ी का सार्व अंतर समान नहीं है।
अतः बनने वाली श्रेढ़ी A.P. नहीं है।
प्रश्न 1: (iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद ,एक कुआँ खोदने में आई लागत ,जबकि
प्रथम मीटर खुदाई की लागत रु 150 है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत रु
50 बढ़ती जाती है।
हल: चूँकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत रु 150 है।
∴ श्रेढ़ी का प्रथम पद (a)=150
अब बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत रु 50 बढ़ती जाती है।
∴ बनने वाली श्रेढ़ी निम्नानुसार होगी –
150, 200, 250, 300, ….(प्रत्येक पद में 50 जोड़ते जाना है।)
इस श्रेढ़ी में
a2− a1=200−150=50
a3− a2 =250−200=50
उपरोक्त हल से स्पष्ट है कि इस श्रेढ़ी का सार्व अंतर समान है।
अतः बनने वाली श्रेढ़ी A.P. है।
प्रश्न 1: (iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन ,जबकि रु 10000 की राशि 8% वार्षिक
की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।
हल: यहां प्रारंभिक राशि 10000 रु है।
∴ बनने वाली श्रेढ़ी का प्रथम पद (a)=10000
अब 10000 पर पहले वर्ष का ब्याज
(यहां सूत्र ब्याज =PTR/100 का प्रयोग किया गया है।)
अतः पहले वर्ष की समाप्ति पर मिश्रधन
=10000+800 =10800
अब 10800 पर दूसरे वर्ष के लिए ब्याज
अतः दूसरे वर्ष की समाप्ति पर मिश्रधन
=10800+864 =11664
∴ बनने वाली श्रेढ़ी निम्नानुसार होगी –
10000, 10800, 11664, ….
इस श्रेढ़ी में
a2− a1=10800−10000=800
a3− a2 =11664−10800=864
उपरोक्त हल से स्पष्ट है कि इस श्रेढ़ी का सार्व अंतर समान नहीं है।
अतः बनने वाली श्रेढ़ी A.P. नहीं है।
प्रश्न 2: दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए ,जबकि प्रथम पद a और सार्व अंतर d निम्नलिखित है:
(i) a=10 , d=10
हल: दी गई A.P. के प्रथम चार पद निम्न है –
a1= a =10
a2= a1 +d=10+10=20
a3= a2+d=20+10=30
a4= a3+d=30+10=40
प्रश्न 2: (ii) a=−2 , d=0
हल: दी गई A.P. के प्रथम चार पद निम्न है –
a1= a =−2
a2= a1 +d=−2+0=−2
a3= a2+d=−2+0=−2
a4= a3+d=−2+0=−2
प्रश्न 2: (iii) a=4 , d=−3
हल: दी गई A.P. के प्रथम चार पद निम्न है –
a1= a =4
a2= a1 +d=4+(−3)=1
a3= a2+d=1+(−3)=−2
a4= a3+d=−2+(−3)=−5
प्रश्न 2: (iv) a=−1 , d=½
हल: दी गई A.P. के प्रथम चार पद निम्न है –
a1= a =−1
प्रश्न 2: (v) a=−1.25 , d=−0.25
हल: दी गई A.P. के प्रथम चार पद निम्न है –
a1= a =−1.25
a2= a1 +d=−1.25+(−0.25)=−1.50
a3= a2+d=−1.50+(−0.25)=−1.75
a4= a3+d=−1.75+(−0.25)=−2
प्रश्न 3: निम्नलिखित में से प्रत्येक A.P. के लिए प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए :
(i) 3 ,1,−1,−3,….
हल: दी गई A.P. का प्रथम पद (a)=3
तथा सार्व अंतर (d)= a2− a1=1−3=−2
प्रश्न 3: (ii) −5,−1 ,3 ,7,….
हल: दी गई A.P. का प्रथम पद (a)=−5
तथा सार्व अंतर (d)= a2− a1=−1−(−5)=4
प्रश्न 3:
हल: दी गई A.P. का प्रथम पद (a)= 1/3
तथा सार्व अंतर (d)= a2− a1
प्रश्न 3: (iv) 0.6 ,1.7 ,2.8 ,3.9
हल: दी गई A.P. का प्रथम पद (a)=0.6
तथा सार्व अंतर (d)= a2− a1=1.7−0.6=1.1
प्रश्न 4: निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P. है ? यदि कोई A.P. है ,तो इसका सार्व अंतर ज्ञात
कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए।
(i) 2, 4, 8, 16, ….
हल: दी गई श्रेढ़ी में
a2− a1=4−2=2
a3− a2 =8−4=4
उपरोक्त हल से स्पष्ट है कि इस श्रेढ़ी का सार्व अंतर समान नहीं है।
अतः दी गई श्रेढ़ी A.P. नहीं है।
प्रश्न 4:
हल: दी गई श्रेढ़ी में
उपरोक्त हल से स्पष्ट है कि सार्व अंतर समान है।
अतः दी गई श्रेढ़ी A.P. है।
इस A.P. का सार्व अंतर (d)=½है।
तथा अगले तीन पद निम्नानुसार है –
प्रश्न 4: (iii) −1.2, −3.2, −5.2, −7.2, ….
हल: दी गई श्रेढ़ी में
a2− a1=−3.2−(−1.2)=−3.2+1.2=−2
a3− a2 =−5.2−(−3.2)=−5.2+3.2=−2
a4− a3=−7.2−(−5.2)=−7.2+5.2=−2
उपरोक्त हल से स्पष्ट है कि इस श्रेढ़ी का सार्व अंतर समान है।
अतः दी गई श्रेढ़ी A.P. है।
इस A.P. का सार्व अंतर (d)=−2 है।
तथा अगले तीन पद निम्नानुसार है –
a5= a4+d=−7.2+(−2)=−7.2−2=−9.2
a6= a5+d=−9.2+(−2)=−9.2−2=−11.2
a7= a6+d=−11.2+(−2)=−11.2−2=−13.2
प्रश्न 4: (iv) −10, −6, −2, 2,….
हल: दी गई श्रेढ़ी में
a2− a1=−6−(−10)=−6+10=4
a3− a2 =−2−(−6)=−2+6=4
a4− a3=2−(−2)=2+2=4
उपरोक्त हल से स्पष्ट है कि इस श्रेढ़ी का सार्व अंतर समान है।
अतः दी गई श्रेढ़ी A.P. है।
इस A.P. का सार्व अंतर (d)=4 है।
तथा अगले तीन पद निम्नानुसार है –
a5= a4+d=2+4=6
a6= a5+d=6+4=10
a7= a6+d=10+4=14
प्रश्न 4: (v) 3, 3+√2, 3+2√2, 3+3√2,….
हल: दी गई श्रेढ़ी में
a2− a1=3+√2−3=√2
a3− a2 =3+2√2−(3+√2)=3+2√2−3−√2=√2
a4− a3=3+3√2−(3+2√2)=3+3√2−3−2√2=√2
उपरोक्त हल से स्पष्ट है कि इस श्रेढ़ी का सार्व अंतर समान है।
अतः दी गई श्रेढ़ी A.P. है।
इस A.P. का सार्व अंतर (d)=√2 है।
तथा अगले तीन पद निम्नानुसार है –
a5= a4+d=3+3√2+√2=3+4√2
a6= a5+d=3+4√2+√2=3+5√2
a7= a6+d=3+5√2+√2=3+6√2
प्रश्न 4: (vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222,….
हल: दी गई श्रेढ़ी में
a2− a1=0.22−0.2=0.02
a3− a2 =0.222−0.22=0.002
a4− a3=0.2222−0.222=0.0002
उपरोक्त हल से स्पष्ट है कि इस श्रेढ़ी का सार्व अंतर समान नहीं है।
अतः दी गई श्रेढ़ी A.P. नहीं है।
प्रश्न 4: (vii) 0, −4, −8, −12,….
हल: दी गई श्रेढ़ी में
a2− a1=−4−0=−4
a3− a2 =−8−(−4)=−8+4=−4
a4− a3=−12−(−8)=−12+8=−4
उपरोक्त हल से स्पष्ट है कि इस श्रेढ़ी का सार्व अंतर समान है।
अतः दी गई श्रेढ़ी A.P. है।
इस A.P. का सार्व अंतर (d)=−4 है।
तथा अगले तीन पद निम्नानुसार है –
a5= a4+d=−12+(−4)=−12−4=−16
a6= a5+d=−16+(−4)=−16−4=−20
a7= a6+d=−20+(−4)=−20−4=−24
प्रश्न 4:
हल: दी गई श्रेढ़ी में
उपरोक्त हल से स्पष्ट है कि इस श्रेढ़ी का सार्व अंतर समान है।
अतः दी गई श्रेढ़ी A.P. है।
इस A.P. का सार्व अंतर (d)=0 है।
तथा अगले तीन पद निम्नानुसार है –
प्रश्न 4: (ix) 1, 3, 9, 27,….
हल: दी गई श्रेढ़ी में
a2− a1=3−1=2
a3− a2 =9−3=6
a4− a3=27−9=18
उपरोक्त हल से स्पष्ट है कि इस श्रेढ़ी का सार्व अंतर समान नहीं है।
अतः दी गई श्रेढ़ी A.P. नहीं है।
प्रश्न 4: (x) a, 2a, 3a, 4a,….
हल: दी गई श्रेढ़ी में
a2− a1=2a−a=a
a3− a2 =3a−2a=a
a4− a3=4a−3a=a
उपरोक्त हल से स्पष्ट है कि इस श्रेढ़ी का सार्व अंतर समान है।
अतः दी गई श्रेढ़ी A.P. है।
इस A.P. का सार्व अंतर (d)=a है।
तथा अगले तीन पद निम्नानुसार है –
a5= a4+d=4a+a=5a
a6= a5+d=5a+a=6a
a7= a6+d=6a+a=7a
प्रश्न 4: (xi) a, a2, a3, a4,….
हल: दी गई श्रेढ़ी में
a2− a1=a2 −a=a(a−1)
a3− a2 =a3 −a2 = a2(a−1)
उपरोक्त हल से स्पष्ट है कि इस श्रेढ़ी का सार्व अंतर समान नहीं है।
अतः दी गई श्रेढ़ी A.P. नहीं है।
प्रश्न 4: (xii) √2, √8, √18, √32, …..
हल: दी गई श्रेढ़ी में
a2− a1=√8−√2=2√2−√2=√2
a3− a2 =√18−√8=3√2−2√2=√2
a4− a3=√32−√18=4√2−3√2=√2
उपरोक्त हल से स्पष्ट है कि इस श्रेढ़ी का सार्व अंतर समान है।
अतः दी गई श्रेढ़ी A.P. है।
इस A.P. का सार्व अंतर (d)=√2 है।
तथा अगले तीन पद निम्नानुसार है –
a5= a4+d=√32+√2=4√2+√2=5√2=√50
a6= a5+d=√50+√2=5√2+√2=6√2=√72
a7= a6+d=√72+√2=6√2+√2=7√2=√98
प्रश्न 4: (xiii) √3, √6, √9, √12, ….
हल: दी गई श्रेढ़ी में
a2− a1=√6−√3=√3(√2−1)
a3− a2 =√9−√6=3−√2×√3=√3(√3−√2)
उपरोक्त हल से स्पष्ट है कि इस श्रेढ़ी का सार्व अंतर समान नहीं है।
अतः दी गई श्रेढ़ी A.P. नहीं है।
प्रश्न 4: (xiv) 12, 32, 52, 72, ….
हल: दी गई श्रेढ़ी में
a2− a1=32 −12 =9−1=8
a3− a2 =52 −32 = 25−9=16
उपरोक्त हल से स्पष्ट है कि इस श्रेढ़ी का सार्व अंतर समान नहीं है।
अतः दी गई श्रेढ़ी A.P. नहीं है।
प्रश्न 4: (xv) 12, 52, 72, 73,….
हल: दी गई श्रेढ़ी में
a2− a1=52 −12 =25−1=24
a3− a2 =72 −52 = 49−25=24
a4− a3=73− 72=73−49=24
उपरोक्त हल से स्पष्ट है कि इस श्रेढ़ी का सार्व अंतर समान है।
अतः दी गई श्रेढ़ी A.P. है।
इस A.P. का सार्व अंतर (d)=24 है।
तथा अगले तीन पद निम्नानुसार है –
a5= a4+d=73+24=97
a6= a5+d=97+24=121= 112
a7= a6+d=121+24=145
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