MATHS FOR CLASS 10 SOLUTIONS IN HINDI
CHAPTER-6 त्रिभुज
प्रश्नावली 6.2
(ध्यान दे 👉🏻 प्रश्नों को हल करते समय आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय को थेल्स प्रमेय
के नाम से सम्बोधित किया गया है। दोनों एक ही प्रमेय के नाम है।)
प्रश्न 1: आकृति 6.17 (i) और (ii) में ,DE॥BC है। (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए :
हल (i): दिया है :
AD=1.5 cm ,DB=3 cm ,
AE=1 cm, EC=?
तथा ∆ABC में DE॥BC
अतः थेल्स प्रमेय से
अतः EC का मान 2 cm होगा।
प्रश्न 1: हल (ii): दिया है :
AD=? ,DB=7.2 cm ,
AE=1.8 cm, EC=5.4
तथा ∆ABC में DE॥BC
अतः थेल्स प्रमेय से
अतः AD का मान 2.4 cm होगा।
प्रश्न 2: किसी Δ PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु E और F स्थित है।
निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए ,बताइए कि क्या EF॥QR है :
(i) PE=3.9 cm ,EQ=3 cm, PF=3.6 cm,और FR=2.4cm
हल: थेल्स प्रमेय से यदि ∆PQR में EF॥QR है, तो
1.3 ≠ 1.5
स्पष्ट है कि दी गई स्थिति के लिए EF, QR के समांतर नहीं है।
प्रश्न 2:(ii) PE=4 cm, QE=4.5 cm, PF=8 cm,और RF=9 cm
हल: थेल्स प्रमेय से यदि ∆PQR में EF॥QR है, तो
स्पष्ट है कि दी गई स्थिति के लिए EF, QR के समांतर है।
प्रश्न 2:(iii) PQ=1.28cm, PR=2.56cm, PE=0.18cm और PF=0.36cm
हल: थेल्स प्रमेय से यदि ∆PQR में EF॥QR है, तो
स्पष्ट है कि दी गई स्थिति के लिए EF, QR के समांतर है।
प्रश्न 3: आकृति 6.18 में यदि LM॥CB और LN॥CD हो तो सिद्ध कीजिए कि
है।
हल: दिया है : Δ ABC में LM॥CB
अतः थेल्स प्रमेय से
पुनः Δ ADC में LN॥CD
अतः थेल्स प्रमेय से
समी.(1) व समी.(2) से
सत्यापित हुआ।
प्रश्न 4: आकृति 6.19 में DE॥AC और DF॥AE हो तो सिद्ध कीजिए कि
है।
हल: दिया है : Δ BAC में DE॥AC
अतः थेल्स प्रमेय से
पुनः Δ BAE में DF॥AE
अतः थेल्स प्रमेय से
समी.(1) व समी.(2) से
सत्यापित हुआ।
प्रश्न 5: आकृति 6.20 में DE॥OQ और DF॥OR है। दर्शाइए कि EF॥QR है।
हल: दिया है : Δ PQO में DE॥OQ
अतः थेल्स प्रमेय से
पुनः Δ PRO में DF॥OR
अतः थेल्स प्रमेय से
समी.(1) व समी.(2) से
समी.(3) से स्पष्ट है कि E व F बिंदु Δ PQR की क्रमशः भुजाओं PQ व PR को
समान अनुपात में विभाजित करते है।
अतः थेल्स प्रमेय के विलोम से EF ,तीसरी भुजा के समांतर होगी।
अर्थात EF॥QR
प्रश्न 6: आकृति 6.21 में क्रमशः OP, OQ और OR पर स्थित बिंदु A, B और C इस
प्रकार है कि AB॥PQ और AC॥PR है। दर्शाइए कि BC॥QR है।
हल: दिया है : Δ OPQ में AB॥PQ
अतः थेल्स प्रमेय से
पुनः Δ OPR में AC॥PR
अतः थेल्स प्रमेय से
समी.(1) व समी.(2) से
समी.(3) से स्पष्ट है कि B व C बिंदु Δ OQR की क्रमशः भुजाओं OQ व OR को
समान अनुपात में विभाजित करते है।
अतः थेल्स प्रमेय के विलोम से BC ,तीसरी भुजा के समांतर होगी।
अर्थात BC॥QR
प्रश्न 7: प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य
-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित
करती है। (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा Ⅸ में सिद्ध कर चुके है।)
हल: रचना: Δ ABC की भुजा AB के मध्य बिंदु P से होकर भुजा BC के समांतर रेखा
PQ है ,जो भुजा AB को Q बिंदु पर काटती है।
दिया है : AP=PB तथा PQ॥BC
सिद्ध करना है : AQ=QC
उपपत्ति : दिया है PQ॥BC
अतः थेल्स प्रमेय से
अतः AQ=QC
अर्थात बिंदु Q ,भुजा AC को समद्विभाजित करता है।
इति सिद्धम।
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प्रश्न 8: प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्ही दो
भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
(याद कीजिए कि आप कक्षा Ⅸ में ऐसा कर चुके है।)
हल: रचना: Δ ABC की भुजा AB व AC के मध्य बिंदु क्रमशः P व Q है।
दिया है : AP=PB तथा AQ=QC
सिद्ध करना है : PQ॥BC
उपपत्ति : दिया है AP=PB तथा AQ=QC
अतः
स्पष्ट है कि P व Q बिंदु Δ ABC की क्रमशः भुजाओं AB व AC को
समान अनुपात में विभाजित करते है।
अतः थेल्स प्रमेय के विलोम से PQ ,तीसरी भुजा BC के समांतर होगी।
अर्थात PQ॥BC
इति सिद्धम।
प्रश्न 9: ABCD एक समलंब है जिसमें AB॥DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु O
पर प्रतिच्छेद करते है। दर्शाइए कि है।
हल: रचना : बिंदु O से एक रेखा OP इस प्रकार खींची कि यह भुजा BC को बिंदु P पर
काटती है तथा OP॥AB
दिया है : ABCD एक समलंब है जिसमें AB॥DC
उपपत्ति : रचना से OP॥AB
अतः Δ ABC में थेल्स प्रमेय से
पुनः रचना से OP॥AB तथा AB॥DC
अतः OP॥DC
अतः Δ BCD में थेल्स प्रमेय से
समी.(1) व समी.(2) से
इति सिद्धम।
MATHS FOR CLASS 10
प्रश्न 10: एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते
है कि है। दर्शाइए कि ABCD एक समलंब है।
हल: रचना : बिंदु O से एक रेखा OP इस प्रकार खींची कि यह भुजा BC को बिंदु P पर
इस प्रकार काटती है कि OP॥AB
दिया है :
सिद्ध करना है : ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है।
उपपत्ति : रचना से OP॥AB
अतः Δ ABC में थेल्स प्रमेय से
पुनः दिया है
या
समी.(1) व समी.(2) से
समी.(3) से स्पष्ट है कि O व P बिंदु Δ BCD की क्रमशः भुजाओं BD व BC को
समान अनुपात में विभाजित करते है।
अतः थेल्स प्रमेय के विलोम से OP , Δ BCD की तीसरी भुजा DC के समांतर होगी।
अर्थात OP॥DC
परन्तु रचना से OP॥AB
⇒ AB॥DC
स्पष्ट है कि ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है।
इति सिद्धम।
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