MATHS FOR CLASS 10 CHAPTER-8(8.1)

MATHS FOR CLASS 10

CHAPTER-8 त्रिकोणमिति का परिचय

प्रश्नावली 8.1

प्रश्न 1: ΔABC में ,जिसका कोण B समकोण है ,AB=24 cm और BC=7 cm है।

निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:

(i) sin A, cos A

(ii) sin C, cos C

हल: समकोण ΔABC में कोण B समकोण है।

तथा AB=24 cm और BC=7 cm

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अतः पाइथोगोरस प्रमेय से

AC² =AB²+BC²

=(24)²+(7)²

=576+49=625

AC =√625 =25 cm

हल:(i) समकोण ΔABC में

sin A =लम्ब/कर्ण =BC/AC

∴ sin A= 7/25

तथा cos A=आधार/कर्ण =AB/AC

∴ cos A=24/25

हल:(ii) समकोण ΔABC में

sin C =लम्ब/कर्ण =AB/AC

∴ sin C= 24/25

तथा cos C=आधार/कर्ण =BC/AC

∴ cos C=7/25

प्रश्न 2: चित्र में tan P−cot R का मान ज्ञात कीजिए।

हल: समकोण ΔPQR में कोण Q समकोण है।

तथा PQ=12 cm और PR=13 cm

अतः पाइथोगोरस प्रमेय से

PR² =PQ²+QR²

QR²=PR² −PQ²

=(13)²−(12)²

=169−144=25

QR =√25 =5 cm

अब समकोण ΔPQR में

tan P=लम्ब/आधार =QR/PQ

∴ tan P=5/12

तथा cot R=आधार/लम्ब=QR/PQ

∴ cot R=5/12

$\Rightarrow tanP-cotR=\frac{5}{12}-\frac{5}{12}=0$

प्रश्न 3: sin A=3/4 तो cos A और tan A के मान परिकलित कीजिए।

हल: दिया है: sin A =3/4=लम्ब/कर्ण

अतः समकोण ΔABC में माना कि

लम्ब=BC =3k

कर्ण=AC=4k

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अतः पाइथोगोरस प्रमेय से

AC² =AB²+BC²

AB²=AC² −BC²

=(4k)²−(3k)²

=16k²−9k² =7k²

AB =√7k² =√7 k

अब समकोण ΔABC में

cos A=आधार/कर्ण =AB/AC

$\therefore cosA=\frac{\sqrt{7}k}{4k}=\frac{\sqrt{7}}{4}$

तथा tan A=लम्ब/आधार =BC/AB

$\therefore tanA=\frac{3k}{\sqrt{7}k}=\frac{3}{\sqrt{7}}$

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प्रश्न 4: यदि 15 cot A =8 हो, तो sin A और sec A के मान ज्ञात कीजिए।

हल:दिया है 15 cot A =8

या cot A =8/15 =आधार/लम्ब

अतः समकोण ΔABC में माना कि

आधार=AB=8k

लम्ब=BC =15k

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अतः पाइथोगोरस प्रमेय से

AC² =AB²+BC²

=(8k)²+(15k)²

=64k² +225k² =289k²

AC =√289k² =17k

अब समकोण ΔABC में

sin A =लम्ब/कर्ण =BC/AC

$\therefore sinA=\frac{15k}{17k}=\frac{15}{17}$

sec A =कर्ण/आधार =AC/AB

$\therefore secA=\frac{17k}{8k}=\frac{17}{8}$

प्रश्न 5: यदि sec θ=13/12 हो, तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।

हल: माना कि ΔABC एक समकोण त्रिभुज है जहाँ ∠B=90° और ∠A=θ है।

दिया है sec θ=13/12=कर्ण/आधार

अतः समकोण ΔABC में माना कि

कर्ण=AC=13k

आधार=AB =12k

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अतः पाइथोगोरस प्रमेय से

AC² =AB²+BC²

BC²=AC² −AB²

=(13k)²−(12k)²

=169k²−144k² =25k²

AB =√25k² =5k

अब समकोण ΔABC में

sin θ =लम्ब/कर्ण =BC/AC

$\therefore sin\theta =\frac{5k}{13k}=\frac{5}{13}$

cos θ=आधार/कर्ण =AB/AC

$\therefore cos\theta =\frac{12k}{13k}=\frac{12}{13}$

tan θ=लम्ब/आधार =BC/AB

$\therefore tan\theta =\frac{5k}{12k}=\frac{5}{12}$

cot θ=आधार/लम्ब=AB/BC

$\therefore cot\theta =\frac{12k}{5k}=\frac{12}{5}$

cosec θ= कर्ण/लम्ब =AC/BC

$\therefore cosec\theta =\frac{13k}{5k}=\frac{13}{5}$

प्रश्न 6: यदि ∠A व ∠B न्यून कोण है ,जहां cos A=cos B ,तो दिखाइए कि ∠A=∠B .

हल: माना कि ABC एक समकोण त्रिभुज है ,

जहाँ ∠C=90° तथा ∠A व ∠B न्यून कोण है।

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दिया है : cos A=cos B

$\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AB}$

⇒ AC =BC

ΔABC में ,

AC =BC

अतः ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है और समद्विबाहु त्रिभुज में बराबर भूजाओं के

सम्मुख कोण भी बराबर होते है।

∴ ∠A=∠B

इति सिद्धम।

प्रश्न 7: यदि cot θ=7/8 हो, तो

$(i)\frac{(1+sin\theta)(1-sin\theta)}{(1+cos\theta)(1-cos\theta)}$

(ii) cot²θ का मान निकालिए।

हल: माना कि ΔACB एक समकोण त्रिभुज है ,जहाँ

∠C=90° और ∠A=θ है।

दिया है cot θ=7/8=आधार/लम्ब

अतः समकोण ΔACB में माना कि

आधार=AC=7k

लम्ब=BC =8k

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अतः पाइथोगोरस प्रमेय से

AB² =AC²+BC²

=(7k)²+(8k)²

=49k² +64k² =113k²

AB =√(113k²) =k√113

अब समकोण ΔACB में

sin θ =लम्ब/कर्ण =BC/AB

$\therefore sin \theta =\frac{8k}{k\sqrt{113}}=\frac{8}{\sqrt{113}}$

cos θ=आधार/कर्ण =AC/AB

$\therefore cos\theta =\frac{7k}{k\sqrt{113}}=\frac{7}{\sqrt{113}}$

$(i)\frac{(1+sin\theta)(1-sin\theta)}{(1+cos\theta)(1-cos\theta)}$

$=\frac{(1+\frac{8}{\sqrt{113}})(1-\frac{8}{\sqrt{113}})}{(1+\frac{7}{\sqrt{113}})(1-\frac{7}{\sqrt{113}})}$

$=\frac{1^{2}-(\frac{8}{\sqrt{113}})^{2}}{1^{2}-(\frac{7}{\sqrt{113}})^{2}}$

[यहॉँ सूत्र (a+b)(a-b)=(a²-b²) का प्रयोग किया गया है।]

$=\frac{1-(\frac{64}{113})}{1-(\frac{49}{113})}$

$=\frac{\frac{113-64}{113}}{\frac{113-49}{113}}=\frac{113-64}{113-49}$

$=\frac{49}{64}$

(ii) cot²θ=(cotθ)²

$=(\frac{7}{8})^{2}=\frac{49}{64}$

अतः cot²θ का मान 49/64 है।

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प्रश्न 8: यदि 3 cot A=4, तो जाँच कीजिए कि

$\frac{1-tan^{2}A}{1+tan^{2}A}=cos^{2}A-sin^{2}A$

है या नहीं।

हल: माना कि ΔABC एक समकोण त्रिभुज है ,जहाँ

∠B=90° है।

दिया है 3cot θ=4

cot θ=4/3=आधार/लम्ब

अतः समकोण ΔABC में माना कि

आधार=AB=4k

लम्ब=BC =3k

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अतः पाइथोगोरस प्रमेय से

AC² =AB²+BC²

=(4k)²+(3k)²

=16k²+9k² =25k²

AC =√25k² =5k

अब समकोण ΔABC में

sin A =लम्ब/कर्ण =BC/AC

$\therefore sinA=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$

cos A=आधार/कर्ण =AB/AC

$\therefore cosA=\frac{4k}{5k}=\frac{4}{5}$

tan A=लम्ब/आधार =BC/AB

$\therefore tanA=\frac{3k}{4k}=\frac{3}{4}$

$L.H.S.=\frac{1-tan^{2}A}{1+tan^{2}A}$

$=\frac{1-(\frac{3}{4})^{2}}{1+(\frac{3}{4})^{2}}=\frac{1-\frac{9}{16}}{1+\frac{9}{16}}$

$=\frac{\frac{16-9}{16}}{\frac{16+9}{16}}=\frac{16-9}{16+9}$

$=\frac{7}{25}...(1)$

$R.H.S=cos^{2}A-sin^{2}A$

$=(\frac{4}{5})^{2}-(\frac{3}{5})^{2}$

$=(\frac{16}{25})-(\frac{9}{25})$

$=\frac{16-9}{25}=\frac{7}{25}...(2)$

(1) व (2) से

L.H.S.=R.H.S

अर्थात $\frac{1-tan^{2}A}{1+tan^{2}A}=cos^{2}A-sin^{2}A$ है।

प्रश्न 9: त्रिभुज ABC में जिसका कोण B समकोण है, यदि tan A=1/√3 ,तो निम्नलिखित

के मान ज्ञात कीजिए:

(i) sin A cos C +cos A sin C

(ii) cos A cos C−sin A sin C

हल: माना कि ΔABC एक समकोण त्रिभुज है ,जहाँ

∠B=90° है।

दिया है tan A=1/√3=लम्ब/आधार

अतः समकोण ΔABC में माना कि

लम्ब=BC =3

आधार=AB=√3k

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अतः पाइथोगोरस प्रमेय से

AC² =AB²+BC²

=(√3k)²+(k)²

=3k²+k² =4k²

AC =√(4k²) =2k

अब समकोण ΔABC में ∠A के लिए

आधार=AB तथा लम्ब=BC

sin A =लम्ब/कर्ण =BC/AC

$\therefore sinA=\frac{k}{2k}=\frac{1}{2}$

cos A=आधार/कर्ण =AB/AC

$\therefore cosA=\frac{\sqrt{3}k}{2k}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

समकोण ΔABC में ∠C के लिए

आधार=BC तथा लम्ब=AB

sin C =लम्ब/कर्ण =AB/AC

$\therefore sinC=\frac{\sqrt{3}k}{2k}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

cos C=आधार/कर्ण =BC/AC

$\therefore cosC=\frac{k}{2k}=\frac{1}{2}$

(i) sin A cos C +cos A sin C

$=(\frac{1}{2})(\frac{1}{2})+(\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2})$

$=(\frac{1}{4})+(\frac{3}{4})=\frac{1+3}{4}$

$=\frac{4}{4}=1$

(ii) cos A cos C−sin A sin C

$=(\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2})-(\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2})$

$=(\frac{\sqrt{3}}{4})-(\frac{\sqrt{3}}{4})=0$

प्रश्न 10: त्रिभुज PQR में जिसका कोण Q समकोण है, PR+QR=25 cm और PQ=5 cm

है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।

हल:माना कि ΔPQR में भुजा QR=x cm है ,तब

प्रश्नानुसार, PR=(25−x) cm (दिया है PR+QR=25 cm)

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अब समकोण त्रिभुज PQR में पाइथोगोरस प्रमेय से

PR²=PQ²+QR²

(25−x)²=(5)²+(x)²

625−50x+x²=25+x²

625−50x−25=0

600=50x

$\Rightarrow x=\frac{600}{50}=12$

∴QR=x cm=12 cm

PR=(25-x) cm=(25−12) cm=13 cm

समकोण त्रिभुज PQR में ∠P के लिए

sin P =लम्ब/कर्ण =QR/PR

$\therefore sinP=\frac{12}{13}$

cos P=आधार/कर्ण =PQ/PR

$\therefore cosP=\frac{5}{13}$

tan A=लम्ब/आधार =QR/PQ

$\therefore tanP=\frac{12}{5}$

प्रश्न 11: बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य। कारण सहित अपने उत्तर की

पुष्टि कीजिए:

(i) tan A का मान सदैव 1 से कम होता है।

उत्तर: हम जानते है कि

tan A=लम्ब/आधार

अब tan A का मान 1 से तभी कम हो सकता है,जब लम्ब, आधार से छोटा हो।

परन्तु सभी समकोण त्रिभुजों में ऐसा हो यह आवश्यक नहीं है।

अतः दिया गया कथन असत्य है।

प्रश्न 11:(ii) कोण A के किसी मान के लिए sec A=12/5

उत्तर: हम जानते है कि

sec A=कर्ण/आधार =12/5 (दिया है।)

चूँकि sec A का मान सदैव 1 या 1 से बड़ा ही होगा।

अतः दिया गया कथन सत्य है।

प्रश्न 11:(iii) cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।

उत्तर: चूँकि cos A, कोण A के cosine का संक्षिप्त रूप है, जबकि कोण A के

cosecant के लिए प्रयुक्त संक्षिप्त रूप cosec A है।

अतः दिया गया कथन असत्य है।

प्रश्न 11: (iv) cot A, cot और A का गुणनफल होता है।

उत्तर: cot A , ∠A के cotangent को निरूपित करता है।

अर्थात केवल cot का अपना कोई अस्तित्व ही नहीं है। अतः cot और A का गुणनफल

cot A नहीं हो सकता।

अतः दिया गया कथन असत्य है।

प्रश्न 11:(v) किसी भी कोण θ के लिए sin θ=4/3

उत्तर: हम जानते है कि

sin θ=लम्ब/कर्ण =4/3 (दिया है।)

अर्थात लम्ब और कर्ण में अनुपात 4:3 है।

प्राप्त अनुपात से स्पष्ट है कि कर्ण, लम्ब से छोटा है। परन्तु किसी भी समकोण त्रिभुज

की सबसे बड़ी भुजा कर्ण ही होती है।

अतः दिया गया कथन असत्य है।

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प्रश्न 4: यदि 15 cot A =8 हो, तो sin A और sec A के मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 6: यदि ∠A व ∠B न्यून कोण है ,जहां cos A=cos B ,तो दिखाइए कि ∠A=∠B .

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प्रश्न 10: त्रिभुज PQR में जिसका कोण Q समकोण है, PR+QR=25 cm और PQ=5 cm

है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।

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