MATHS SOLUTIONS FOR CLASS 10
CHAPTER-4 द्विघात समीकरण
प्रश्नावली 4.2
प्रश्न 1: गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x2−3x−10=0
हल: मध्य पद को विभक्त करने पर
x2+2x−5x−10=0
x(x+2)−5(x+2)=0
(x+2)(x−5)=0
यहां या तो (x+2)=0 या (x−5)=0
या तो x=−2 या x=5
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल −2 व 5 है।
प्रश्न 1 (ii) 2x2+x−6=0
हल: मध्य पद को विभक्त करने पर
2x2+4x−3x−6=0
2x(x+2)−3(x+2)=0
(x+2)(2x−3)=0
यहां या तो (x+2)=0 या (2x−3)=0
या तो x=−2 या x=3/2
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल −2 व 3/2 है।
प्रश्न 1: (iii) √2x2 +7x+5√2 =0
हल: मध्य पद को विभक्त करने पर
√2x2+2x+5x+5√2 =0
√2x(x+√2)+5(x+√2)=0
(x+√2)(√2x+5)=0
यहां या तो (x+√2)=0 या (√2x+5)=0
या तो x=−√2 या x=−5/√2
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल −√2 व −5/√2 है।
प्रश्न 1:
हल: प्रत्येक पद को 8 से गुणा करने पर
16x2−8x+1=0
मध्य पद को विभक्त करने पर
16x2−4x−4x+1=0
4x(4x−1)−1(4x−1)=0
(4x−1)(4x−1)=0
यहां या तो (4x−1)=0 या (4x−1)=0
या तो x=1/4 या x=1/4
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल 1/4 व 1/4 है।
प्रश्न 1: (v) 100x2−20x+1=0
हल: मध्य पद को विभक्त करने पर
100x2−10x−10x+1=0
10x(10x−1)−1(10x−1)=0
(10x−1)(10x−1)=0
यहां या तो (10x−1)=0 या (10x−1)=0
या तो x=1/10 या x=1/10
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल 1/10 व 1/10 है।
प्रश्न 2: उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए।
उदाहरण 1: (i) जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे है। दोनों पॉँच-पॉँच कंचे खो देते है,
और अब उनके पास कंचो की संख्या का गुणनफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरंभ में उनके पास
कितने कंचे थे।
हल: माना कि जॉन के कंचो की संख्या x थी।
तब जीवंती के कंचो की संख्या (45−x) होगी। (क्यों ?)
(क्योंकि कुल कंचे 45 थे।)
5 कंचे खो देने के बाद
जॉन के पास शेष बचे कंचे =x−5
तथा जीवंती के पास शेष बचे कंचे =45−x−5 या 40−x
प्रश्नानुसार ,
(x−5)(40−x)=124 (कैसे ?)
(क्योंकि शेष बचे कंचो की संख्या का गुणनफल 124 है।)
40x−x2−200+5x=124
45x−x2−200=124
x2−45x+200+124=0
या x2−45x+324=0
मध्य पद को विभक्त करने पर
x2−9x−36x+324=0
x(x−9)−36(x−9)=0
(x−9)(x−36)=0
यहां या तो (x−9)=0 या (x−36)=0
या तो x=9 या x=36
अतः द्विघात समीकरण के मूल 9 व 36 है।
अब यदि आरम्भ में जॉन के कंचो की संख्या 9 थी तो जीवंती के कंचो की संख्या (45−9)=36 होगी।
और यदि आरम्भ में जॉन के कंचो की संख्या 36 थी तो जीवंती के कंचो की संख्या (45−36)=9 होगी।
प्रश्न 2:
उदाहरण 1: (ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य
(रुपयों में) 55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौने की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर
है। किसी एक दिन ,कुल निर्माण लागत 750 रु थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या
ज्ञात करना चाहेंगे।
हल: माना कि एक दिन में निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या x है।
तब प्रश्नानुसार ,
प्रत्येक खिलौने का मूल्य (55−x) रु होगी। (कैसे?)
[क्योंकि प्रत्येक खिलौने का मूल्य 55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौने की संख्या (अर्थात x)
को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है।]
पुनः प्रश्नानुसार ,
x(55−x) =750 (कैसे?)
[क्योंकि एक खिलौने का मूल्य (55−x) रु है ,तो x खिलौनों का मूल्य x(55−x) रु होगा ,जो कि प्रश्न के हिसाब से 750 रु है।]
55x−x2=750
x2−55x+750=0
मध्य पद को विभक्त करने पर
x2−25x−30x+750=0
x(x-25)−30(x-25)=0
(x-25)(x−30)=0
यहां या तो (x−25)=0 या (x−30)=0
या तो x=25 या x=30
अतः द्विघात समीकरण के मूल 25 व 30 है।
अर्थात उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या 25 या 30 होगी।
प्रश्न 3: ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।
हल: माना की एक संख्या x है ,तो
दूसरी संख्या (27−x) होगी। (क्यों?)
(क्योंकि दोनों संख्याओं का योग 27 है।)
तब प्रश्नानुसार,
x(27−x)=182 (कैसे?)
(क्योंकि दोनों संख्याओं का गुणनफल 182 है।)
27x−x2 =182
या x2−27x+182=0
मध्य पद को विभक्त करने पर
x2−13x−14x+182=0
x(x−13)−14(x−13)=0
(x−13)(x−14)=0
यहां या तो (x−13)=0 या (x−14)=0
या तो x=13 या x=14
अतः द्विघात समीकरण के मूल 13 व 14 है।
अर्थात वे दो संख्याएँ 13 व 14 है।
प्रश्न 4: दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।
हल: माना कि दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक x व (x+1) है।
अतः प्रश्नानुसार,
x2 +(x+1)2=365
या x2+x2 +2x+1-365=0
2x2+2x−364=0
प्रत्येक पद में 2 का भाग देने पर
x2+x−182=0
मध्य पद को विभक्त करने पर
x2−13x+14x−182=0
x(x−13)+14(x−13)=0
(x−13)(x+14)=0
यहां या तो (x−13)=0 या (x+14)=0
या तो x=13 या x=−14
अतः द्विघात समीकरण के मूल 13 व −14 है।
अर्थात वे दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक 13 व 14 है।
(यहां धनात्मक पूर्णांक की बात की गई है ,इसीलिए −14 के स्थान पर 14 लिया गया है।)
प्रश्न 5: एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई इसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm का हो ,तो अन्य
दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल: माना कि समकोण त्रिभुज का आधार x cm है।
तब प्रश्नानुसार त्रिभुज की ऊंचाई (x−7) cm होगी।
समकोण त्रिभुज के लिए हम जानते है कि
कर्ण2 =लम्ब2 +आधार2 (पाइथोगोरस प्रमेय से)
∴ प्रश्नानुसार ,
(132)=(x-7)2 +x2
169=x2-14x+49+x2
2x2−14x+49−169=0
या 2x2−14x−120=0
प्रत्येक पद में 2 का भाग देने पर
x2−7x−60=0
मध्य पद को विभक्त करने पर
x2+5x−12x−60=0
x(x+5)−12(x+5)=0
(x+5)(x−12)=0
यहां या तो (x+5)=0 या (x−12)=0
या तो x=−5 या x=12
अतः द्विघात समीकरण के मूल −5 व 12 है।
परन्तु ,त्रिभुज की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः x =12 लेने पर
त्रिभुज का आधार 12 cm व ऊंचाई (12−7)=5 cm होगी।
प्रश्न 6: एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि
प्रत्येक नग की निर्माण लागत (रुपयों में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक
थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत 90 रु थी ,तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत
ज्ञात कीजिए।
हल: माना कि एक दिन में निर्मित बर्तनों की संख्या x है।
तब प्रश्नानुसार ,
प्रत्येक नग की निर्माण लागत (2x+3) रु होगी। (कैसे?)
[क्योंकि लागत उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या (अर्थात x) के दुगुने से 3 अधिक थी।]
पुनः प्रश्नानुसार ,
x(2x+3) =90 (कैसे?)
[क्योंकि एक नग का मूल्य (2x+3) रु है ,तो x नगो का मूल्य x(2x+3) रु होगा ,जो कि प्रश्न के हिसाब से 90 रु है।]
2x2+3x−90=0
मध्य पद को विभक्त करने पर
2x2−12x+15x−90=0
2x(x-6)+15(x-6)=0
(x-6)(2x+15)=0
यहां या तो (x−6)=0 या (2x+15)=0
या तो x=6 या x=−15/2
अतः द्विघात समीकरण के मूल 6 व −15/2 है।
परन्तु ,x एक दिन में बनने वाले बर्तनों की संख्या है।
अतः x का मान एक पूर्ण संख्या होना चाहिए।
∴ एक दिन में बनने वाले बर्तनों की संख्या 6 होगी।
तथा प्रत्येक नग की लागत [2(6)+3]=15 होगी।
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