NCERT CLASS 10 MATHS CHAPTER 2 (2.2)

NCERT CLASS 10 MATHS SOLUTIONS

CHAPTER 2 (POLYNOMIAL) बहुपद

प्रश्नावली 2.2

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प्रश्न 1: निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यको तथा गुणांकों के बीच के संबंध की

सत्यता की जाँच कीजिए :

(i) x²−2x −8 (ii) 4s²−4s +1 (iii) 6x²−3 −7x

(iv) 4u²+8u (v) t²−15 (vi) 3x²−x −4

हल:(i) x²−2x −8

x²−2x −8 = x²+2x −4x −8

= x(x+2)−4(x+2)

= (x+2) (x −4)

∴ x²−2x −8 का मान शून्य होगा ,जब

यातो (x+2) =0 या (x −4) =0

अर्थात x = −2 या x = 4

∴ x²−2x −8 के शून्यक −2 और 4 है।

⇒शून्यको तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच:

शून्यको का योग= −2 +4 = 2 = $-\left ( \frac{-2}{1} \right )$ = $-\frac{b}{a}$

तथा शून्यको का गुणनफल = (−2)(4) = −8 = $\frac{-8}{1}$ = $\frac{c}{a}$

(यहाँ a, x²का गुणांक b, x का गुणांक व c, अचर पद है।)

हल: (ii) 4s²−4s +1

4s²−4s +1 = (2s)² −2(2s)(1) +(1)²

(सूत्र- a²−2ab+ b² = (a−b)² से)

= (2s−1)²

= (2s −1)(2s −1)

∴ 4s²−4s +1का मान शून्य होगा ,जब

यातो 2s −1 =0 या 2s −1 =0

अर्थात s = $\frac{1}{2}$ या s = $\frac{1}{2}$

∴ 4s²−4s +1के शून्यक $\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{2}$ है।

⇒शून्यको तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच:

शून्यको का योग= $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = 1 = − $\frac{\left ( -4 \right )}{4}$ = $-\frac{b}{a}$

तथा शून्यको का गुणनफल = $\frac{1}{2}$ × $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{4}$ = $\frac{c}{a}$

(यहाँ a, s²का गुणांक b, s का गुणांक व c, अचर पद है।)

हल: (iii) 6x²−3 −7x

6x² −7x −3 = 6x² +2x −9x −3

= 2x(3x +1) −3(3x+1)

= (3x+1)(2x −3)

∴ 6x² −7x −3 का मान शून्य होगा ,जब

यातो (3x+1) =0 या (2x−3) =0

अर्थात x = $\frac{\left ( -1 \right )}{3}$ या x = $\frac{3}{2}$

∴ 6x² −7x −3 के शून्यक $\frac{\left ( -1 \right )}{3}$ और $\frac{3}{2}$ है।

⇒शून्यको तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच:

शून्यको का योग= $\frac{\left ( -1 \right )}{3}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{7}{6}$ = − $\frac{\left ( -7 \right )}{6}$ = $-\frac{b}{a}$

तथा शून्यको का गुणनफल = $\frac{\left ( -1 \right )}{3}$ × $\frac{3}{2}$ = $\frac{\left ( -3 \right )}{6}$ = $\frac{c}{a}$

(यहाँ a, x²का गुणांक b, x का गुणांक व c, अचर पद है।)

हल: (iv) 4u²+8u

4u²+8u = 4u(u+2)

∴ 4u²+8u का मान शून्य होगा ,जब

यातो 4u =0 या (u+2) =0

अर्थात u = 0 या u = −2

∴ 4u²+8u के शून्यक 0 और −2 है।

⇒शून्यको तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच:

शून्यको का योग= 0 + (−2) = −2 = − $\frac{8}{4}$ = $-\frac{b}{a}$

तथा शून्यको का गुणनफल = 0 × (-2) = $\frac{0}{4}$ = $\frac{c}{a}$

(यहाँ a, u²का गुणांक b, u का गुणांक व c, अचर पद है।)

हल: (v) t²−15

(t)²−( $\sqrt{15}$ )² = (t+ $\sqrt{15}$ )(t- $\sqrt{15}$ )

(सूत्र a² −b²= (a+b)(a-b) से)

∴ t²−15 का मान शून्य होगा ,जब

यातो(t+ $\sqrt{15}$ ) =0 या (t- $\sqrt{15}$ ) =0

अर्थात t = − $\sqrt{15}$ या u = $\sqrt{15}$

t²−15 के शून्यक − $\sqrt{15}$ और $\sqrt{15}$ है।

⇒शून्यको तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच:

शून्यको का योग=− $\sqrt{15}$ + $\sqrt{15}$ = 0 = − $\frac{0}{1}$ = $-\frac{b}{a}$

तथा शून्यको का गुणनफल = − $\sqrt{15}$ × $\sqrt{15}$ = $\frac{-15}{1}$ = $\frac{c}{a}$

(यहाँ a, t²का गुणांक b, t का गुणांक व c, अचर पद है।)

(vi) 3x²−x −4

3x²−x −4 = 3x²+3x−4x−4

= 3x(x+1)−4(x+1)

= (x+1)(3x−4)

∴ 3x²−x −4 का मान शून्य होगा ,जब

यातो (x+1) =0 या (3x−4) =0

अर्थात x = -1 या x = $\frac{4}{3}$

∴ 3x²−x −4 के शून्यक −1 और $\frac{4}{3}$ है।

⇒शून्यको तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच:

शून्यको का योग= −1 + $\frac{4}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = − $\frac{\left ( -1 \right )}{3}$ = $-\frac{b}{a}$

तथा शून्यको का गुणनफल = −1 × $\frac{4}{3}$ = $\frac{\left ( -4 \right )}{3}$ = $\frac{c}{a}$

(यहाँ a, x²का गुणांक b, x का गुणांक व c, अचर पद है।)

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प्रश्न 2: एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यको के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ है :

(i) $\frac{1}{4}$ , −1 (ii) $\sqrt{2}$ , $\frac{1}{3}$ (iii) 0 , $\sqrt{5}$

(iv) 1 , 1 (v) − $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{4}$ (vi) 4 , 1

हल:(i) $\frac{1}{4}$ , −1

माना कि α व β द्विघात बहुपद p(x) = ax² +bx +c के शून्यक है।

तब प्रश्नानुसार , α+β = $\frac{1}{4}$ = $-\frac{b}{a}$

तथा αβ = -1 = $\frac{\left ( -4 \right )}{4}$ = $\frac{c}{a}$

तुलना करने पर

a = 4, b = −1, c = −4

a, b, व c केउपरोक्त मान p(x) = ax² +bx +c में रखने पर

अतः p(x) = 4x²−x −4 होगा।

हल:(ii) $\sqrt{2}$ , $\frac{1}{3}$

माना कि α व β द्विघात बहुपद p(x) = ax² +bx +c के शून्यक है।

तब प्रश्नानुसार , α+β = $\sqrt{2}$ = $\frac{3\sqrt{2}}{3}$ = $-\frac{b}{a}$

तथा αβ = $\frac{1}{3}$ = $\frac{c}{a}$

तुलना करने पर

∴ a = 3 , b = − $3\sqrt{2}$ , c = 1

a, b, व c केउपरोक्त मान p(x) = ax² +bx +c में रखने पर

अतः p(x) = 3x²− $3\sqrt{2}$ x +1 होगा।

हल:(iii) 0 , $\sqrt{5}$

माना कि α व β द्विघात बहुपद p(x) = ax² +bx +c के शून्यक है।

तब प्रश्नानुसार , α+β = 0 = $\frac{0}{1}$ = $-\frac{b}{a}$

तथा αβ = $\sqrt{5}$ = $\frac{\sqrt{5}}{1}$ = $\frac{c}{a}$

तुलना करने पर

∴ a = 1 , b = 0 , c = $\sqrt{5}$

a, b, व c केउपरोक्त मान p(x) = ax² +bx +c में रखने पर

अतः p(x) = x² + $\sqrt{5}$ होगा।

हल:(iv) 1 , 1

माना कि α व β द्विघात बहुपद p(x) = ax² +bx +c के शून्यक है।

तब प्रश्नानुसार , α+β = 1 = $\frac{1}{1}$ = $-\frac{b}{a}$

तथा αβ = 1 = $\frac{1}{1}$ = $\frac{c}{a}$

तुलना करने पर

∴ a = 1, b = −1, c = 1

a, b, व c केउपरोक्त मान p(x) = ax² +bx +c में रखने पर

अतः p(x) = x²−x +1 होगा।

हल:(v) − $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{4}$

माना कि α व β द्विघात बहुपद p(x) = ax² +bx +c के शून्यक है।

तब प्रश्नानुसार , α+β =− $\frac{1}{4}$ = $-\frac{b}{a}$

तथा αβ = $\frac{1}{4}$ = $\frac{c}{a}$

तुलना करने पर

∴ a = 4, b = 1, c = 1

a, b, व c केउपरोक्त मान p(x) = ax² +bx +c में रखने पर

अतः p(x) = 4x²+x +1 होगा।

हल:(vi) 4 , 1

माना कि α व β द्विघात बहुपद p(x) = ax² +bx +c के शून्यक है।

तब प्रश्नानुसार , α+β = 4 = $\frac{4}{1}$ = $-\frac{b}{a}$

तथा αβ = 1 = $\frac{1}{1}$ = $\frac{c}{a}$

तुलना करने पर

∴ a = 1, b = −4, c = 1

a, b, व c केउपरोक्त मान p(x) = ax² +bx +c में रखने पर

अतः p(x) = x²−4x +1 होगा।

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CHAPTER 2 (POLYNOMIAL) बहुपद

प्रश्नावली 2.2

प्रश्न 1: निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यको तथा गुणांकों के बीच के संबंध की

सत्यता की जाँच कीजिए :

प्रश्न 2: एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यको के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ है :

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