NCERT CLASS 10 MATHS CHAPTER-3(3.6)

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NCERT CLASS 10 MATHS SOLUTIONS IN HINDI

CHAPTER-3

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

प्रश्नावली 3.6

प्रश्न 1: निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल कर हल कीजिए :

$(i) \frac{1}{2x}+\frac{1}{3y}=2$

$\frac{1}{3x}+\frac{1}{2y}=\frac{13}{6}$

हल: दी गई समीकरणों के युग्म में

$\frac{1}{x}=p,\frac{1}{y}=q$

रखने पर तथा प्रत्येक पद को 6 से गुणा करने पर

$(\frac{1}{2})p+(\frac{1}{3})q=2$ तथा

$(\frac{1}{3})p+(\frac{1}{2})q=\frac{13}{6}$

दोनों समीकरणों के प्रत्येक पद को 6 से गुणा करने पर

3p+2q =12

या 3p+2q−12 =0 …(1)

तथा 2p+3q =13

या 2p+3q−13=0 …(2)

समी.(1) व (2) में वज्र गुणन विधि से

$\frac{p}{(2)(-13)-(-12)(3)}=\frac{q}{(-12)(2)-(3)(-13)}=\frac{1}{(3)(3)-(2)(2)}$

$\frac{p}{-26+36}=\frac{q}{-24+39}=\frac{1}{9-4}$

$\frac{p}{10}=\frac{q}{15}=\frac{1}{5}$

अर्थात p =2 तथा q =3

परन्तु $p=\frac{1}{x}=2$

∴ $x=\frac{1}{2}$

तथा $q=\frac{1}{y}=3$

∴ $y=\frac{1}{3}$

प्रश्न 1: (ii)

$\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}=2$

$\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{y}}=-1$

हल: दी गई समीकरणों के युग्म में

$\frac{1}{\sqrt{x}}=p,\frac{1}{\sqrt{y}}=q$

रखने पर

2p+3q =2 …(1)

4p−9q =−1 …(2)

3×समी(1)+समी.(2) से

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∴ $p=\frac{5}{10}$

$p=\frac{1}{2}$

समी.(1) में p का मान रखने पर

$2(\frac{1}{2})+3q=2$

1+3q =2

3q =2−1

∴ $q=\frac{1}{3}$

p व q के प्रारंभिक मान प्रतिस्थापित करने पर

$p=\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}$

या √x =2 या x=4

तथा $q=\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{3}$

∴ √y=3 या y=9

अतः दी गई समीकरण युग्म का हल x=4 व y=9 है।

प्रश्न 1:(iii)

$\frac{4}{x}+3y=14$

$\frac{3}{x}-4y=23$

हल: दी गई समीकरणों के युग्म में

$\frac{1}{x}=p$

रखने पर

4p+3y=14 …(1)

3p−4y=23 …(2)

समी.(1)×4+समी.(2)×3 करने पर

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$P=\frac{125}{25}$

∴P=5

परन्तु

$p=\frac{1}{x}=5$

∴ $x=\frac{1}{5}$

समी.(1) में P=5 रखने पर

4(5)+3y =14

3y =14−20

$y=\frac{-6}{3}$

y=−2

अतः दी गई समीकरण युग्म का हल x=1/5 व y=−2 है।

प्रश्न 1: (iv)

$\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}=2$

$\frac{6}{x-1}-\frac{3}{y-2}=1$

हल: दी गई समीकरणों के युग्म में

$\frac{1}{x-1}=p,\frac{1}{y-2}=q$

रखने पर

5p+q =2 …(1)

6p−3q =1 …(2)

समी(1)×3 +समी.(2) करने पर

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$p=\frac{7}{21}$

$p=\frac{1}{3}$

परन्तु $p=\frac{1}{x-1}=\frac{1}{3}$

∴ x−1 =3

या x =4

समी.(2) में p का मान रखने पर

$6(\frac{1}{3})-3q=1$

2−3q =1

-3q =1−2

या $q=\frac{1}{3}$

परन्तु $q=\frac{1}{y-2}=\frac{1}{3}$

∴ y−2=3

या y=5

अतः दी गई समीकरण युग्म का हल x=4 व y=5 है।

प्रश्न 1:(v)

$\frac{7x-2y}{xy}=5$

$\frac{8x+7y}{xy}=15$

हल: दी गई समीकरण युग्मों को पुनर्व्यवस्थित करने पर

$\frac{7}{y}-\frac{2}{x}=5$

$\frac{8}{y}+\frac{7}{x}=15$

उपरोक्त समीकरणों में

$\frac{1}{y}=p,\frac{1}{x}=q$

रखने पर

7p−2q=5 …(1)

8p+7q =15 …(2)

समी.(1)×7+समी.(2)×2 करने पर

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∴ p=1

परन्तु

$p=\frac{1}{y}=1$

∴ y =1

p का मान समी.(2) में रखने पर

8(1)+7q =15

7q =15−8

$q=\frac{7}{7}=1$

परन्तु

$q=\frac{1}{x}=1$

∴ x =1

अतः दी गई समीकरण युग्म का हल x=1 व y=1 है।

प्रश्न 1:(vi)

6x+3y =6xy

2x+4y =5xy

हल: दी गई समीकरण युग्मो के प्रत्येक पद में xy का भाग देने पर

$\frac{6}{y}+\frac{3}{x}=6$

$\frac{2}{y}+\frac{4}{x}=5$

उपरोक्त समीकरणों में

$\frac{1}{y}=p,\frac{1}{x}=q$

रखने पर

6p+3q =6

प्रत्येक पद में 3 का भाग देने पर

2p+q =2 …(1)

2p+4q =5 …(2)

समी.(2)−समी.(1) करने पर

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∴ q=1

परन्तु

$q=\frac{1}{x}=1$

∴ x =1

q का मान समी.(1) में रखने पर

2p+1 =2

या 2p =2−1

$p=\frac{1}{2}$

परन्तु

$p=\frac{1}{y}=\frac{1}{2}$

∴ y =2

अतः दी गई समीकरण युग्म का हल x=1 व y=2 है।

प्रश्न 1:(vii)

$\frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}=4$

$\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}=-2$

हल: दी गई समीकरणों के युग्म में

$\frac{1}{x+y}=p,\frac{1}{x-y}=q$

रखने पर

10p+2q =4 …(1)

15p−5q =−2 …(2)

समी.(1)×5 +समी.(2)×2 करने पर

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$p=\frac{16}{80}$

$p=\frac{1}{5}$

परन्तु

$p=\frac{1}{x+y}=\frac{1}{5}$

∴ x+y =5 …(3)

समी.(1) में p=1/5 रखने पर

$10(\frac{1}{5})+2q=4$

2+2q =4

2q =4−2

∴ $q=\frac{2}{2}=1$

परन्तु

$q=\frac{1}{x-y}=1$

∴ x−y =1 …(4)

समी.(3)+समी.(4) करने पर

2x =6

∴ x =3

समी.(3) में x=3 रखने पर

3+y =5

∴ y =2

अतः दी गई समीकरण युग्म का हल x=3 व y=2 है।

प्रश्न 1:(viii)

$\frac{1}{3x+y}+\frac{1}{3x-y}=\frac{3}{4}$

$\frac{1}{2(3x+y)}-\frac{1}{2(3x-y)}=\frac{-1}{8}$

हल: दी गई समीकरणों के युग्म में

$\frac{1}{3x+y}=p,\frac{1}{3x-y}=q$

रखने पर

$p+q=\frac{3}{4}$

या 4p+4q =3 …(1)

तथा $\frac{p}{2}-\frac{q}{2}=\frac{-1}{8}$

प्रत्येक पद को 8 से गुणा करने पर

4p−4q =−1 …(2)

समी.(1)+समी.(2) करने पर

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$p=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$

परन्तु

$p=\frac{1}{3x+y}=\frac{1}{4}$

या 3x+y =4 …(3)

समी.(1) में p=1/4 रखने पर

$4(\frac{1}{4})+4q=3$

1+4q =3

4q =2

या $q=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

परन्तु

$q=\frac{1}{3x-y}=\frac{1}{2}$

या 3x−y =2 …(4)

समी.(3)+समी.(4) करने पर

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∴ x=1

समी.(3) में x=1 रखने पर

3(1)+y =4

y =4−3

∴ y =1

अतः दी गई समीकरण युग्म का हल x=1 व y=1 है।

अन्य प्रश्नावलियों के हल देखने के लिए नीचे click करें –

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प्रश्न 2:निम्न समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए :

(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 km

तैर सकती है। उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि रितू की स्थिर जल में तैरने की चाल x km/h तथा धारा की चाल y km/h है।

तब रितू की धारा के अनुकूल चाल =(x+y) km/h (कैसे?)

(क्योंकि रितू की खुद चाल x है और धारा की चाल y है,तो एक ही दिशा में चलने के कारण दोनों चालें जुड़ जाएगी)

तथा रितू की धारा के प्रतिकूल चाल =(x−y) km/h (कैसे?)

(क्योंकि रितू की खुद चाल x है और धारा की चाल y है,तो विपरीत दिशा में चलने के कारण दोनों चालें घट जाएगी)

अब प्रश्नानुसार स्थिति-I

जब रितू धारा के अनुकूल तैरती है तब सूत्र चाल =दुरी/समय से

$x+y=\frac{20}{2}$

या x+y =10 …(1)

प्रश्नानुसार स्थिति-II

जब रितू धारा के प्रतिकूल तैरती है तब सूत्र चाल =दुरी/समय से

$x-y=\frac{4}{2}$

या x−y =2 …(2)

समी.(1)+समी.(2) से

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$x=\frac{12}{2}$

∴ x =6

समी.(1) में x=6 रखने पर

6+y=10

y=10−6

∴ y =4

अतः रितू की स्थिर जल में तैरने की चाल 6 km/h तथा धारा की चाल 4 km/h है।

प्रश्न 2:

(ii) 2 महिलाऐं एवं 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते है ,जबकि 3 महिलाऐं

एवं 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते है। ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला

कितना समय लेगी। पुनः इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा।

हल: माना कि एक अकेली महिला कसीदे के काम को पूरा करने में x दिन लेती है तथा

एक पुरुष इसी कार्य को करने में y दिन लेता है।

∴ 1 महिला द्वारा 1 दिन में किया गया कार्य =1/x

तथा 1 पुरुष द्वारा 1 दिन में किया गया कार्य =1/y

प्रश्नानुसार स्थिति-I

$\frac{2}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}$ ….(1)

प्रश्नानुसार स्थिति-II

$\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{3}$ ….(2)

समी.(1) व समी.(2) में 1/x =p तथा 1/y =q रखने पर

2p+5q =1/4 …(3)

3p+6q =1/3 …(4)

समी.(3)×3 −समी.(4)×2 करने पर

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$q=\frac{1}{36}$

q मान समी.(4) में रखने पर

$3p+6(\frac{1}{36})=\frac{1}{3}$

$3p+(\frac{1}{6})=\frac{1}{3}$

$3p=\frac{1}{3}-\frac{1}{6}$

$3p=\frac{2-1}{6}$

$3p=\frac{1}{6}$

$p=\frac{1}{18}$

परन्तु

$p=\frac{1}{18}=\frac{1}{x}$

∴ x =18

तथा

$q=\frac{1}{36}=\frac{1}{y}$

∴ y =36

अतः एक अकेली महिला कसीदे के काम को पूरा करने में 18 दिन लेती है तथा

एक पुरुष इसी कार्य को करने में 36 दिन लेता है।

प्रश्न 2:

(iii) रूही 300 km दूरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दूरी बस द्वारा तय

करती है। यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते है। यदि वह

100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे ,तो उसे 10 मिनट अधिक लगते है। रेलगाड़ी एवं बस की क्रमशः

चाल ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि रेलगाड़ी की चाल x km/h तथा बस की चाल y km/h है।

स्थिति-I

समय =दुरी/चाल से

60 km दुरी तय करने में रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय (t₁) =60/x

तथा 240 km दुरी तय करने में बस द्वारा लिया गया समय (t₂) =240/y

प्रश्नानुसार,

t₁ + t₂ =4 घंटे

$\frac{60}{x}+\frac{240}{y}=4$ …..(1)

स्थिति-II

समय =दुरी/चाल से

100 km दुरी तय करने में रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय (t₁) =100/x

तथा 200 km दुरी तय करने में बस द्वारा लिया गया समय (t₂) =200/y

प्रश्नानुसार,

t₁ + t₂ =4 घंटे 10 मिनट

या t₁ + t₂ =4 घंटे +1/6 घंटे

$\frac{100}{x}+\frac{200}{y}=\frac{25}{6}$ ….(2)

समी.(1) व समी.(2) में 1/x =p तथा 1/y =q रखने पर

समी.(1) से

60p+240q =4 …(3)

समी.(2) से

100p+200q =25/6 …(4)

समी.(3)×10 −समी.(4)×6 करने पर

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$q=\frac{15}{1200}$

$q=\frac{1}{80}$

q मान समी.(3) में रखने पर

$60p+240(\frac{1}{80})=4$

60p+3=4

60p=4−3

$p=\frac{1}{60}$

परन्तु

$p=\frac{1}{x}=\frac{1}{60}$

∴ x =60

तथा

$q=\frac{1}{y}=\frac{1}{80}$

∴ y =80

अतः रेलगाड़ी की चाल 60 km/h तथा बस की चाल 80 km/h है।

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प्रश्नावली 3.1

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