NCERT CLASS 10 MATHS SOLUTION IN HINDI (1.2)

NCERT CLASS 10 MATHS SOLUTION IN HINDI

CHAPTER-1 REAL NUMBER (वास्तविक संख्याऐं )

प्रश्नावली 1.2

प्रश्न 1: निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखण्डो के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए :

(i)  140     (ii)  156     (iii)  3825     (iv)  5005     (v) 7429

हल :(i) 140

 140 का अभाज्य गुणनखण्ड

2	140
2	70
5	35
7	7
	1

140=2×2×5×7

(Note –अभाज्य गुणनखण्ड की शुरुआत हमेशा छोटी अभाज्य संख्या से करें।)

 

 हल :(ii) 156

156 का अभाज्य गुणनखण्ड

2	156
2	78
3	39
13	13
	1

156 =2×2×3×13

 

 हल :(iii) 3825 

3825 का अभाज्य गुणनखण्ड

3	3825
3	1275
5	425
5	85
17	17
	1

3825 =3×3×5×5×17 

 

 हल :(iv) 5005 

5005 का अभाज्य गुणनखण्ड

5	5005
7	1001
11	143
13	13
	1

5005 = 5×7×11×13

 

हल :(v) 7429 

7429 का अभाज्य गुणनखण्ड

17	7429
19	437
23	23
	1

7429 = 17×19×23

 

प्रश्न 2 : पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मो के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल =HCF×LCM है। 

(i)  26 और 91      (ii)  510 और 92      (iii)  336 और 54 

हल :(i) 26 और 91

26 का अभाज्य गुणनखण्ड                     

2	26
13	13
	1

 26 = 2×13

91 का अभाज्य गुणनखण्ड

7	91
13	13
	1

91 =7×13

HCF (26 और 91) =13

(HCF निकालने के लिए दोनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखण्ड में से common अभाज्य संख्याएँ ले। )

LCM (26 और 91) = 2×7×13 =182

(LCM निकालने के लिए दोनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखण्ड में से अधिकतम घात वाली सभी अभाज्य संख्याएँ ले।)

जाँच: दो संख्याओं का गुणनफल =HCF×LCM 

 26×91 = 13×182   
   2366 = 2366

 

हल :(ii) 510 और 92

510 का अभाज्य गुणनखण्ड                     

2	510
3	255
5	85
17	17
	1

 510 = 2×3×5×17 

92 का अभाज्य गुणनखण्ड

2	92
2	46
23	23
	1

92 =2×2×23

HCF (510 और 92) =2

(HCF निकालने के लिए दोनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखण्ड में से common अभाज्य संख्याएँ ले। )

LCM (510 और 92) = 2×2×3×5×17×23 =23460

(LCM निकालने के लिए दोनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखण्ड में से अधिकतम घात वाली सभी अभाज्य संख्याएँ ले।)

जाँच: दो संख्याओं का गुणनफल =HCF×LCM

510×92 =2×23460

  46920 =46920

 

हल :(iii)  336 और 54

336 का अभाज्य गुणनखण्ड                     

2	336
2	168
2	84
2	42
3	21
7	7
	1

 336 = 2×2×2×2×3×7 

54 का अभाज्य गुणनखण्ड

2	54
3	27
3	9
3	3
	1

54 =2×3×3×3

HCF (336 और 54) =2×3 = 6

(HCF निकालने के लिए दोनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखण्ड में से common अभाज्य संख्याएँ ले। )

LCM (336 और 54) = 2×2×2×2×3×3×3×7 =3024

(LCM निकालने के लिए दोनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखण्ड में से अधिकतम घात वाली सभी अभाज्य संख्याएँ ले।)

जाँच: दो संख्याओं का गुणनफल =HCF×LCM

336×54 = 6×3024

  18144 = 18144

 

प्रश्न 3 : अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए।

(i)  12 ,15 और 21   (ii)  17 ,23 और 29    (iii)  8 ,9 और 25 

हल :(i) 12 ,15 और 21

2	12		3	15		3	21
2	6		5	5		7	7
3	3			1			1
	1

अभाज्य गुणनखण्ड –

12 = 2×2×3

15 = 3×5

21 = 3×7

HCF(12 ,15 और 21) = 3 

LCM (12 ,15 और 21) = 2×2×3×5×7 = 420                                                                                                         

हल : (ii)  17 ,23 और 29 

यहाँ 17 ,23 और 29 तीनो ही अभाज्य सँख्या है

(जब दी गई सभी संख्याएँ अभाज्य हो तो HCF सदैव 1 होता है तथा LCM दी गई संख्याओ के गुणा करने से प्राप्त होता है। )

∴ HCF(17 ,23 और 29) = 1

LCM (17 ,23 और 29) = 17×23×29 =11339

 

हल :(iii)  8 ,9 और 25 

2	8		3	9		5	25
2	4		3	3		5	5
2	2			1			1
	1

अभाज्य गुणनखण्ड –

 8 = 2×2×2 

9 = 3×3

25 = 5×5

HCF(8 ,9 और 25) = 1

(जब दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखण्ड में कोई भी संख्या common नहीं आए तो HCF 1 होगा। )

LCM (12 ,15 और 21) = 2×2×2×3×3×5×5 =1800

 

प्रश्न 4 : HCF (306 ,657 ) = 9 दिया  है। LCM (306 ,657 ) ज्ञात कीजिए। 

हल : हम जानते है कि 

दो संख्याओं का गुणनफल =HCF×LCM

 ∴306×657 = 9 × LCM (306 ,657 )

    306×657 =  LCM (306 ,657 )

          9

∴  LCM (306 ,657 ) = 22338

 

प्रश्न 5 :जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए ,संख्या 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।

हल :हम जानते है कि

6 का अभाज्य गुणनखण्ड 2×3 होता है।

∴ 6ⁿ =(2×3)ⁿ

लेकिन हम यह भी जानते है कि

यदि कोई संख्या 0 पर समाप्त होती है, तो उसके अभाज्य गुणनखण्ड में कम से कम एक बार 2×5 जरुर ही आना चाहिए।

जो कि 6 के अभाज्य गुणनखण्ड (2×3) में नहीं आती है।

अतः स्पष्ट है कि किसी प्राकृत संख्या n के लिए ,संख्या 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त नहीं हो सकती है।

 

प्रश्न 6 :व्याख्या कीजिए कि 7×11×13+13 और 7×6×5×4×3×2×1+5 भाज्य संख्याऐं क्यों है। 

हल : 7×11×13+13 = 13 (7×11+1)

                              = 13×(77+1)

                              = 13×78

यहाँ अभाज्य गुणनखण्ड में 1 के अतिरिक्त दो अन्य संख्याएँ मौजूद है।

∴ 7×11×13+13 एक भाज्य संख्या है।

इसी प्रकार ,

7×6×5×4×3×2×1+5 = 5 (7×6×4×3×2×1+1)

                                 = 5×(1008+1)

                                 = 5×1009

यहाँ भी अभाज्य गुणनखण्ड में 1 के अतिरिक्त दो अन्य संख्याएँ मौजूद है।

∴ 7×6×5×4×3×2×1+5 भी एक भाज्य संख्या है।

(Note –अभाज्य संख्या के गुणनखण्ड में 1 और स्वयं वही संख्या आती है।)

 

प्रश्न 7:किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते है ,जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते है। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते है। कितने समय बाद वे पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे ?

हल : मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को लगा समय =18 मिनट

मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को लगा समय =12 मिनट

अतः दोनों को पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलने में लगा समय= LCM (18 ,12)

2	18,12
2	9,6
3	9,3
3	3,1
	1,1

∴ LCM (18 ,12)=2×2×3×3=36

अतः 36 मिनट बाद वे पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे। 

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