NCERT CLASS 10 MATHS SOLUTIONS IN HINDI (3.5)

NCERT CLASS 10 MATHS SOLUTIONS IN HINDI

CHAPTER-3

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

प्रश्नावली 3.5

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प्रश्न 1: निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका एकअद्वितीय हल है ,किसका कोई हल नहीं है ,या

किसके अपरिमित रूप से अनेक हल है। अद्वितीय हल की स्थिति में ,उसे वज्र गुणन विधि से ज्ञात कीजिए।

(i) x−3y−3 =0

3x−9y−2 =0

हल: दी गई समीकरणों की तुलना a₁x+b₁y+c₁ =0 तथा a₂x+b₂y+c₂ =0 से करने पर

a₁=1 ,b₁=−3 ,c₁=−3 तथा

a₂=3 ,b₂=−9 ,c₂=−2

यहाँ $\frac{a_{1}}{a_{2}}= \frac{b_{1}}{b_{2}}\neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$

∴ दी गई रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल विध्यमान नहीं है।

प्रश्न 1: (ii)

2x+y =5

3x+2y =8

हल:

2x+y−5 =0

3x+2y−8=0

दी गई समीकरणों की तुलना a₁x+b₁y+c₁ =0 तथा a₂x+b₂y+c₂ =0 से करने पर

a₁=2 ,b₁=1 ,c₁=−5 तथा

a₂=3 ,b₂=2 ,c₂=−8

यहाँ $\frac{a_{1}}{a_{2}}\neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$

∴ दी गई रैखिक समीकरणों के युग्म का एक अद्वितीय हल विध्यमान है।

∴ वज्र गुणन विधि से

$\frac{x}{(1)(-8)-(-5)(2)}=\frac{y}{(-5)(3)-(2)(-8)}=\frac{1}{(2)(2)-(1)(3)}$

$\frac{x}{-8+10}=\frac{y}{-15+16}=\frac{1}{4-3}$

$\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{1}{1}$

अर्थात $\frac{x}{2}=1$ तथा $\frac{y}{1}=1$

अतः x =2 तथा y =1

प्रश्न 1: (iii) 3x−5y =20

6x−10y =40

हल:

3x−5y−20=0

6x−10y−40=0

दी गई समीकरणों की तुलना a₁x+b₁y+c₁ =0 तथा a₂x+b₂y+c₂ =0 से करने पर

a₁=3 ,b₁=−5 ,c₁=−20 तथा

a₂=6 ,b₂=−10 ,c₂=−40

यहाँ $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$

∴ दी गई रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल विध्यमान है।

प्रश्न 1: (iv)

x−3y−7 =0

3x−3y−15 =0

हल: दी गई समीकरणों की तुलना a₁x+b₁y+c₁ =0 तथा a₂x+b₂y+c₂ =0 से करने पर

a₁=1 ,b₁=−3 ,c₁=−7 तथा

a₂=3 ,b₂=−3 ,c₂=−15

यहाँ $\frac{a_{1}}{a_{2}}\neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$

∴ दी गई रैखिक समीकरणों के युग्म का एक अद्वितीय हल विध्यमान है।

∴ वज्र गुणन विधि से

$\frac{x}{(-3)(-15)-(-7)(-3)}=\frac{y}{(-7)(3)-(1)(-15)}=\frac{1}{(1)(-3)-(-3)(3)}$

$\frac{x}{45-21}=\frac{y}{-21+15}=\frac{1}{-3+9}$

$\frac{x}{24}=\frac{y}{-6}=\frac{1}{6}$

अर्थात $\frac{x}{24}=\frac{1}{6}$ तथा $\frac{y}{-6}=\frac{1}{6}$

अतः x =4 तथा y =−1

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प्रश्न 2:(i) a और b के किन मानों के लिए ,निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से

अनेक हल होंगे ?

2x+3y =7

(a−b)x+(a+b)y =3a+b−2

हल: समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करने पर

2x+3y−7 =0

(a−b)x+(a+b)y−(3a+b−2)=0

दी गई समीकरणों की तुलना a₁x+b₁y+c₁ =0 तथा a₂x+b₂y+c₂ =0 से करने पर

a₁=2 ,b₁=3 ,c₁=−7 तथा

a₂=(a−b) ,b₂=(a+b) ,c₂=−(3a+b−2)

अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए निम्न स्थिति लागू होनी चाहिए

$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$

∴ $\frac{2}{(a-b)}=\frac{3}{(a+b)}=\frac{-7}{-(3a+b-2)}$

प्रथम व तृतीय पद से

$\frac{2}{(a-b)}=\frac{7}{3a+b-2}$

2(3a+b−2)=7(a−b)

6a+2b−4=7a−7b

6a−7a+2b+7b =4

−a+9b=4 …(1)

द्वितीय व तृतीय पद से

$\frac{3}{(a+b)}=\frac{7}{(3a+b-2)}$

3(3a+b−2)=7(a+b)

9a+3b−6 =7a+7b

9a−7a+3b−7b =6

2a−4b =6

प्रत्येक पद में 2 का भाग देने पर

a−2b =3 …(2)

समी.(1) +समी (2) से

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∴ b=1

समी.(2) में b=1 रखने पर

a−2(1)=3

या a=3+2

∴ a=5

अतः a=5 और b=1 के लिए ,दी गई रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से

अनेक हल होंगे।

प्रश्न 2:(ii) k के किस मान के लिए ,निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है ?

3x+y =1

(2k−1)x+(k−1)y =2k+1

हल: समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करने पर

3x+y−1=0

(2k−1)x+(k−1)y−(2k+1)=0

दी गई समीकरणों की तुलना a₁x+b₁y+c₁ =0 तथा a₂x+b₂y+c₂ =0 से करने पर

a₁=3 ,b₁=1 ,c₁=−1 तथा

a₂=(2k−1) ,b₂=(k−1) ,c₂=−(2k+1)

रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं होने के लिए निम्न स्थिति लागू होनी चाहिए

$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}\neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$

∴ $\frac{3}{(2k-1)}=\frac{1}{(k-1)}\neq \frac{-1}{-(2k+1)}$

प्रथम व द्वितीय पद से

$\frac{3}{(2k-1)}=\frac{1}{(k-1)}$

या 3(k−1)=2k−1

3k−3 =2k−1

या 3k−2k =3−1

∴ k =2

अतः k =2 के लिए ,दी गई रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है।

प्रश्न 3: निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एवं वज्र गुणन विधियों से हल कीजिए।

किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते है ?

8x+5y=9

3x+2y=4

हल: समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करने पर

8x+5y−9=0 …(1)

3x+2y−4=0 …(2)

प्रतिस्थापन विधि –

समी.(1) से

$y=\frac{9-8x}{5}$ …(3)

y का उपरोक्त मान समी.(2) में प्रतिस्थापित करने पर

$3x+2(\frac{9-8x}{5})-4=0$

प्रत्येक पद को 5 से गुणा करने पर

15x+2(9−8x)−20=0

या 15x+18−16x−20=0

−x =2

∴ x =−2

समी.(3) में x =−2 रखने पर

$y=\frac{9-8(-2)}{5}$

$y=\frac{9+16}{5}$

$y=\frac{25}{5}$

∴ y =5

प्रतिस्थापन विधि से x =−2 व y =5 प्राप्त होता है।

वज्र गुणन विधि –

समी.(1) व (2) से

$\frac{x}{(5)(-4)-(-9)(2)}=\frac{y}{(-9)(3)-(8)(-4)}=\frac{1}{(8)(2)-(5)(3)}$

$\frac{x}{-20+18}=\frac{y}{-27+32}=\frac{1}{16-15}$

$\frac{x}{-2}=\frac{y}{5}=\frac{1}{1}$

प्रथम व तृतीय पद से

x =−2 तथा

द्वितीय व तृतीय पद से

y =5

वज्र गुणन विधि से x =−2 व y =5 प्राप्त होता है।

उपरोक्त दोनों विधियों की तुलना करने से हम निष्कर्ष निकाल सकते है कि

वज्र गुणन विधि ज्यादा उपयुक्त है।

प्रश्न 4: निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका

अस्तित्व हो )किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए :

(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है

कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है। जब एक विद्यार्थी A को ,जो 20 दिन भोजन करता

है ,1000 रु छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते है ,जबकि एक विद्यार्थी B को ,जो

26 दिन भोजन करता है छात्रावास के व्यय के लिए 1180 रु अदा करने पड़ते है। नियत

व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि नियत व्यय x रु और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य y रु है।

तब प्रश्नानुसार विद्यार्थी A का व्यय

x+20y =1000

या x+20y−1000=0 …(1)

तथा विद्यार्थी B का व्यय

x+26y =1180

या x+26y−1180=0 …(2)

समी.(1) व (2) में वज्र गुणन से

$\frac{x}{(20)(-1180)-(-1000)(26)}=\frac{y}{(-1000)(1)-(1)(-1180)}=\frac{1}{(1)(26)-(20)(1)}$

$\frac{x}{-23600+26000}=\frac{y}{-1000+1180}=\frac{1}{26-20}$

$\frac{x}{2400}=\frac{y}{180}=\frac{1}{6}$

प्रथम व तृतीय पद से

$x=\frac{2400}{6}$

∴ x =400

द्वितीय व तृतीय पद से

$y=\frac{180}{6}$

∴ y =30

अतः छात्रावास का नियत व्यय 400 रु और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य 30 रु है।

प्रश्न 4:(ii) एक भिन्न 1/3 हो जाती है ,जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और वह 1/4 हो जाती

है ,जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि भिन्न का अंश x तथा हर y है।

तब प्रश्नानुसार ,स्थिति -I

$\frac{x-1}{y}=\frac{1}{3}$ (कैसे ?)

(क्योंकि अंश में से 1 घटाने पर भिन्न 1/3 बन जाती है। )

वज्र गुणन करने पर

3(x−1)=y

या 3x−y−3 =0 …(1)

स्थिति-II

$\frac{x}{y+8}=\frac{1}{4}$ (कैसे ?)

(क्योंकि हर में 8 जोड़ने पर भिन्न 1/4 बन जाती है। )

वज्र गुणन करने पर

4x=y+8

या 4x−y−8=0 …(2)

समी.(1) व (2) में वज्र गुणन विधि से

$\frac{x}{(-1)(-8)-(-3)(-1)}=\frac{y}{(-3)(4)-(3)(-8)}=\frac{1}{(3)(-1)-(-1)(4)}$

$\frac{x}{8-3}=\frac{y}{-12+24}=\frac{1}{-3+4}$

$\frac{x}{5}=\frac{y}{12}=\frac{1}{1}$

प्रथम व द्वितीय पद से

$\frac{x}{y}=\frac{5}{12}$

अतः अभीष्ट भिन्न 5/12 है।

प्रश्न 4:(iii) यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए ,जब उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले

तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई। यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा

अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते ,तो यश 50 अंक अर्जित करता। टेस्ट में कितने प्रश्न थे ?

हल: माना कि सही उत्तर x व गलत उत्तर y है।

तब प्रश्नानुसार ,स्थिति-I

3x−y =40

या 3x−y−40 =0 …(1)

तथा स्थिति-II

4x−2y =50

या 4x−2y−50=0 …(2)

समी.(1) व (2) में वज्र गुणन विधि से

$\frac{x}{(-1)(-50)-(-40)(-2)}=\frac{y}{(-40)(4)-(3)(-50)}=\frac{1}{(3)(-2)-(-1)(4)}$

$\frac{x}{50-80}=\frac{y}{-160+150}=\frac{1}{-6+4}$

$\frac{x}{-30}=\frac{y}{-10}=\frac{1}{-2}$

अतः प्रथम व तृतीय पद से

x=15

तथा द्वितीय व तृतीय पद से

y=5

प्रश्नो की संख्या

x+y =15+5 =20 होगी।

प्रश्न 4:(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B ,100 km की दूरी पर है। एक कार A से तथा

दूसरी कार B से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती है। यदि ये कारें भिन्न-भिन्न चालों से एक ही

दिशा में चलती है ,तो वे 5 घंटे पश्चात् मिलती है। यदि वे विपरीत दिशा में चलती है तो एक घंटे के

पश्चात् मिलती है। दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि A स्थान की कार की चाल x km/h तथा B स्थान की कार की चाल y km/h है।

प्रश्नानुसार ,स्थिति-I

जब कारें एक ही दिशा में चलती है –

5 घंटे के समय में A स्थान की कार द्वारा तय की गई दूरी =5x (क्योंकि दूरी=चाल×समय)

5 घंटे के समय में B स्थान की कार द्वारा तय की गई दूरी =5y (क्योंकि दूरी=चाल×समय)

∴ 5x−5y=100

(क्योंकि कारें एक ही दिशा में चल रही है ,तो उनके बीच दूरी का अंतर 100 km होगा)

प्रत्येक पद में 5 का भाग देने पर

x−y =20 …(1)

प्रश्नानुसार ,स्थिति-II

जब कारें विपरीत दिशा में चलती है –

1 घंटे के समय में A स्थान की कार द्वारा तय की गई दूरी =x (क्योंकि दूरी=चाल×समय)

1 घंटे के समय में B स्थान की कार द्वारा तय की गई दूरी =y (क्योंकि दूरी=चाल×समय)

∴ x+y=100 …(2)

(क्योंकि कारें विपरीत दिशा में चल रही है ,तो उनके बीच दूरी का योग 100 km होगा)

समी.(1)+समी. (2) से

NCERT CLASS 10 CHAPTER-3.5

$x=\frac{120}{2}$

∴ x=60

समी.(2) में x=60 रखने पर

60+y =100

y =100−60

∴ y=40

अतः A स्थान की कार की चाल 60 km/h तथा B स्थान की कार की चाल 40 km/h होगी।

प्रश्न 4:(v) एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है ,यदि उसकी लम्बाई 5 इकाई

कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बड़ा दी जाती है। यदि हम लम्बाई को 3 इकाई और

चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दें ,तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है। आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि आयत की लम्बाई x इकाई तथा चौड़ाई y इकाई है।

∴ आयत का क्षेत्रफल xy (लम्बाई×चौड़ाई) होगा।

तब प्रश्नानुसार ,स्थिति-I

(x−5)(y+3)=xy−9

(क्योंकि लम्बाई(x) 5 इकाई कम हुई और चौड़ाई (y) 3 इकाई बढ़ी तो क्षेत्रफल(xy) 9 वर्ग इकाई कम हुआ)

x(y+3)−5(y+3)=xy−9

xy+3x−5y−15=xy−9

3x−5y+9−15=0

या 3x−5y−6=0 …(1)

प्रश्नानुसार ,स्थिति-II

(x+3)(y+2)=xy+67

(क्योंकि लम्बाई(x) 3 इकाई बढ़ी और चौड़ाई (y) 2 इकाई बढ़ी तो क्षेत्रफल(xy) 67 वर्ग इकाई बढ़ा )

x(y+2)+3(y+2)=xy+67

xy+2x+3y+6 =xy+67

2x+3y−67+6=0

या 2x+3y−61=0 …(2)

समी.(1) व (2) में वज्र गुणन विधि से

$\frac{x}{(-5)(-61)-(-6)(3)}=\frac{y}{(-6)(2)-(3)(-61)}=\frac{1}{(3)(3)-(-5)(2)}$

$\frac{x}{305+18}=\frac{y}{-12+183}=\frac{1}{9+10}$

$\frac{x}{323}=\frac{y}{171}=\frac{1}{19}$

अतः प्रथम व तृतीय पद से

x=17

तथा द्वितीय व तृतीय पद से

y=9

अतः आयत की लम्बाई 17 इकाई तथा चौड़ाई 9 इकाई होगी।

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प्रश्नावली 2.1

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प्रश्न 2:(i) a और b के किन मानों के लिए ,निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से

अनेक हल होंगे ?

2x+3y =7

(a−b)x+(a+b)y =3a+b−2

हल: समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करने पर

प्रश्न 3: निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एवं वज्र गुणन विधियों से हल कीजिए।

किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते है ?

8x+5y=9

3x+2y=4

प्रश्न 4: निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका

अस्तित्व हो )किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए :

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