NCERT MATHS CLASS 10 SOLUTIONS (1.1)

NCERT MATHS CLASS 10 SOLUTION IN HINDI

CHAPTER-1 REAL NUMBER (वास्तविक संख्याऐं )

प्रश्नावली 1.1

प्रश्न 1:युक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से HCF ज्ञात कीजिए। 

(i) 135 और 225  (ii) 196 और 38220  (iii) 867 और 255 

हल (i) 135 और 225

माना कि a=225 और b=135 है।         

(आप हमेशा बड़ी संख्या को a तथा छोटी संख्या को b माने। )

युक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से

a=bq+r                                                                                  

225=135×1+90                                                

आप इसे ऐसे समझें 135) 225 (1 →q

                                      135

                                        90 →r

135=90×1+45

90=45×2+0 

(जब r=0 प्राप्त हो जाए तब हल करना बंद कर दे। b के स्थान पर जो संख्या प्राप्त हो वही HCF होगा। )

इसलिए

HCF =45 

 

हल (ii) 196 और 38220

माना कि a=196 और b=38220 है।                                        

युक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से                                     

a=bq+r

38220=196×195+0

आप इसे ऐसे समझें 196) 38220 (195 →q

                                      196 

                                      1862

                                      1764

                                        980

                                        980

                                          0  → r

(जब r=0 प्राप्त हो जाए तब हल करना बंद कर दे। b के स्थान पर जो संख्या प्राप्त हो वही HCF होगा। )                                

इसलिए 

HCF =196                                                                                                                                                                       

हल (iii) 867और 255

माना कि a=867 और b=255 है। 

युक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से

a=bq+r

867 =255×3+102

आप इसे ऐसे समझें 255) 867 (3 →q

                                      765 

                                       102 → r

255 =102×2 +51

102 =51×2+0

(जब r=0 प्राप्त हो जाए तब हल करना बंद कर दे। b के स्थान पर जो संख्या प्राप्त हो वही HCF होगा। )

इसलिए

HCF =51 

 

प्रश्न 2: दर्शाइये कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1 या 6q+3 ,या 6q+5 ,के रूप का होता है,

जहाँ q कोई पूर्णांक है। 

हल : माना कि a कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है ,जहाँ b =6 होगा।

(note-आप b का मान प्रश्न में से प्राप्त करें,जो संख्या q के साथ लिखी हे वही bहै।)

 युक्लिड विभाजन प्रमेय से हम जानते है कि 

a =bq +r ,जहाँ 0 ≤ r < b  

या a =6q +r ,              …….(i)

जहाँ 0 ≤ r < 6 अर्थात शेषफल r =0 ,1 ,2 ,3 ,4 व 5 होगा।                    (ध्यान रखे r का मान हमेशा b से कम ही होगा। )

परन्तु a एक विषम पूर्णांक है ,इसलिए शेषफल भी विषम होगा। 

अर्थात r के विषम मान 1,3 व 5 होंगे।

r के उपरोक्त मानो को क्रमशः समी.(i) में रखने पर निम्न मान प्राप्त होंगे –

a =6q +1 या a =6q +3 या a =6q +5

अतः कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1 या 6q+3 ,या 6q+5 ,के रूप का होता है। 

 

प्रश्न 3 :किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना ( आर्मी ) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है।दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तम्भों में मार्च करना है। उन स्तम्भों की अधिकतम संख्या क्या है ,जिसमें वे मार्च कर सकते है। 

हल: स्तम्भों की अधिकतम संख्या=HCF (616 ,32 ) (note –प्रश्न में यदि अधिकतम शब्द आता है ,तो आपको HCF ज्ञात करना है।) 

माना a =616 व b =32  (क्योंकि यहाँ 616 >32 )

युक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से

a=bq+r   

616 =32 ×19 +8

32 =8 ×4 +0

(जब r=0 प्राप्त हो जाए तब हल करना बंद कर दे। b के स्थान पर जो संख्या प्राप्त हो वही HCF होगा। )

इसलिए

HCF =8 

इसलिए स्तम्भों की अधिकतम संख्या 8 होगी। 

 

प्रश्न 4: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइये कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग ,किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m +1 के रूप का होता है। 

हल :माना कि a कोई धनात्मक पूर्णांक है ,जहाँ b =3  होगा।

(note-आप b का मान प्रश्न में से प्राप्त करें,जो संख्या m के साथ लिखी हे वही b है।)

युक्लिड विभाजन प्रमेय से हम जानते है कि 

a =bq +r ,जहाँ 0 ≤ r < b  

या a =3q +r ,     …….(i)

जहाँ 0 ≤ r < 3 अर्थात शेषफल r =0 ,1 व 2 होगा। (ध्यान रखे r का मान हमेशा b से कम ही होगा। )

r के उपरोक्त मानो को क्रमशः समी.(i) में रखने पर

a =3q +0 या 3q +1 या 3q +2 

इसलिए

a² =(3q )²  या (3q +1)² या (3q +2 )²  

    =9q²  या  (9q² +6q +1) या (9q² +12q +4 )

(यहाँ सूत्र (a +b )² =a² +2ab +b² काम में लिया गया है )

a² =3(3q² ) या 3 (3q² +2q )+1 या ( 9q² +12q +3 +1 )

    =3(3q² ) या 3 (3q² +2q )+1 या 3 (3q² +4q +1 )+1

यदि m =(3q² ) या (3q² +2q )या (3q² +4q +1 )हो ,तो 

a² =3m या 3m +1 या 3m +1

अतः स्पष्ट है कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग ,किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m +1 के रूप का होता है। 

 

प्रश्न 5: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइये कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m ,9m+1 या 9m +8 के रूप का होता है।

हल :

माना कि a कोई धनात्मक पूर्णांक है ,जहाँ b =9 होगा।

(note-आप b का मान प्रश्न में से प्राप्त करें,जो संख्या m के साथ लिखी हे वही b है।)

युक्लिड विभाजन प्रमेय से हम जानते है कि 

a =bq +r ,जहाँ 0 ≤ r < b  

या a =9q +r ,      …….(i)

जहाँ 0 ≤ r < 9 अर्थात शेषफल r =0 ,1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 व 8 होगा।  (ध्यान रखे r का मान हमेशा b से कम ही होगा। )

r=0, समी.(i) में रखने पर

a =9q +0

∴a³ =(9q )³ 

⇒ a³ =9 (81q³ )

 a³ =9m  जहाँ m =(81q³ ) ……..(ii)

r=1, समी.(i) में रखने पर

a =9q +1 

∴a³ =(9q+1)³

⇒ a³ =729q³ +1 +243q² +27q

(यहाँ सूत्र (a +b )³ =a³ +b³ +3a² b +3ab² काम में लिया गया है)

a³ =9 (81q³ +27q²  +3q ) +1 

    =9m +1  …….(iii)

जहाँ m = (81q³ +27q²  +3q )

r=2, समी.(i) में रखने पर

a =9q +2

∴a³ =(9q+2)³

⇒ a³ =729q³ +8 +486q² +108q

(यहाँ सूत्र (a +b )³ =a³ +b³ +3a² b +3ab² काम में लिया गया है)

   a³ =9 (81q³ +54q²  +12q ) +8 

       =9m +8  …….(iv)

जहाँ m =(81q³ +54q²  +12q )

अतः (ii),(iii),व (iv) से स्पष्ट है कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m ,9m+1 या 9m +8 के रूप का होता है।

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प्रश्नावली 1.2