NCERT MATHS SOLUTIONS CLASS 10 CHAPTER 1(1.4)

NCERT MATHS SOLUTIONS CLASS 10

CHAPTER 1: REAL NUMBER

(वास्तविक संख्याएँ )

प्रश्नावली 1.4

प्रश्न 1 : बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया किए बताइये कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के

दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती है :

(i) 13 ⁄ 3125 (ii) 17 ⁄ 8 (iii) 64 ⁄ 455 (iv) 15 ⁄ 1600

(v) 29 ⁄ 343 (vi) 23 ⁄ 2³5⁷(vii) 129 ⁄ 2²5⁷7⁵

(viii) 6 ⁄ 15 (ix) 35 ⁄ 50 (x) 77 ⁄ 210

(NOTE – इन प्रश्नों को हल करने के लिए आपको केवल हर का गुणनखंड करना है।

आपके हर के गुणनखंड से निम्न प्रकार उत्तर लिखें –

1 ) हर 2^m के रूप का है तो दशमलव प्रसार सांत होगा।

2 ) हर 5^m के रूप का है तो दशमलव प्रसार सांत होगा।

3 ) हर 2^m×5ⁿके रूप का है तो दशमलव प्रसार सांत होगा।

4 ) हर 2^m×5ⁿ के रूप का नहीं है तो दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा। )

हल :(i) 13 ⁄ 3125

यहां हर 3125 का अभाज्य गुणनखंड

5	3125
5	625
5	125
5	25
5	5
	1

3125 = 5⁵ या 2⁰× 5⁵

यहां हर का गुणनखंड 2^m×5ⁿ के रूप का है।

इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा।

हल :(ii) 17 ⁄ 8

यहां हर 8 का अभाज्य गुणनखंड

2	8
2	4
2	2
	1

8 = 2³ या 2³ ×5⁰

यहां हर का गुणनखंड 2^m×5ⁿ के रूप का है।

इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा।

हल :(iii) 64 ⁄ 455

यहां हर 455 का अभाज्य गुणनखंड

5	455
7	91
13	13
	1

455 = 5×7×13

यहां हर का गुणनखंड 2^m×5ⁿ के रूप का नहीं है।

इसलिए दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

हल :(iv) 15 ⁄ 1600

यहां हर 1600 का अभाज्य गुणनखंड

2	1600
2	800
2	400
2	200
2	100
2	50
5	25
5	5
	1

1600 = 2⁶ ×5²

यहां हर का गुणनखंड 2^m×5ⁿ के रूप का है।

इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा।

हल :(v) 29 ⁄ 343

यहां हर 343 का अभाज्य गुणनखंड

7	343
7	49
7	7
	1

343 = 7³

यहां हर का गुणनखंड 2^m×5ⁿ के रूप का नहीं है।

इसलिए दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

हल :(vi) 23 ⁄ 2³5⁷

यहां हर का गुणनखंड 2^m×5ⁿ के रूप का है।

इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा।

हल :(vii) 129 ⁄ 2²5⁷7⁵

यहां हर का गुणनखंड 2^m×5ⁿ के रूप का नहीं है।

इसलिए दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

हल :(viii) 6 ⁄ 15

यहां हर 15 का अभाज्य गुणनखंड

3	15
5	5
	1

15 = 3×5

लेकिन अंश का गुणनखंड 2 ×3 है।

∴ मूल संख्या 2 ⁄ 5 होगी।

∴ यहां हर का गुणनखंड 2^m×5ⁿ के रूप का होगा।

इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा।

हल :(ix) 35 ⁄ 50

यहां हर 50 का अभाज्य गुणनखंड

2	50
5	25
5	5
	1

50 = 2 ×5²

यहां हर का गुणनखंड 2^m×5ⁿ के रूप का है।

इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा।

हल :(x) 77 ⁄ 210

यहां हर 210 का अभाज्य गुणनखंड

2	210
3	105
5	35
7	7
	1

210 = 2×3×5×7

यहां हर का गुणनखंड 2^m×5ⁿ के रूप का नहीं है।

इसलिए दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

प्रश्न 2 : ऊपर दिए गए प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारो को लिखिए जो सांत है।

हल :ऊपर दिए गए प्रश्न में निम्न परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत है-

संख्या	दशमलव प्रसार
13 ⁄ 3125	0.00416
17 ⁄ 8	2.125
15 ⁄ 1600	0.009375
23 ⁄ 2³5⁷	0.0000368
6 ⁄ 15	0.4
35 ⁄ 50	0.7

प्रश्न 3: कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार नीचे दर्शाए गए है। प्रत्येक स्थिति के लिए

निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय संख्या है या नहीं। यदि यह परिमेय संख्या है और p ⁄ q

के रूप की है तो q के अभाज्य गुणनखंडो के बारे में आप क्या कह सकते है?

(i) 43.123456789 (ii) 0.120120012000120000…. (iii) $43.\overline{123456789}$

हल :(i) 43.123456789

चूँकि दी गई संख्या का दशमलव प्रसार सांत है ,

∴ यह संख्या एक परिमेय संख्या है

और इसके हर (q) का अभाज्य गुणनखंड 2^m×5ⁿ के रूप का होगा।

हल :(ii) 0.120120012000120000….

चूँकि दी गई संख्या का दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती है।

∴ यह संख्या एक परिमेय संख्या नहीं है, यह अपरिमेय संख्या है।

हल :(iii) $43.\overline{123456789}$

चूँकि दी गई संख्या का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।

∴ यह संख्या एक परिमेय संख्या है

और इसके हर (q) का अभाज्य गुणनखंड 2^m×5ⁿ के रूप का नहीं होगा।