NCERT MATHS SOLUTIONS FOR CLASS 10 (3.3)

NCERT MATHS SOLUTIONS FOR CLASS 10

CHAPTER-3

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

प्रश्नावली 3.3

प्रश्न 1: निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए :

हल : (i) x+y =14 …(1)

x −y =4 …(2)

समी.(2) से x =4+y समी.(1) में प्रतिस्थापित करने पर

4+y+y =14

2y =14 −4

$y=\frac{10}{2}$

y =5

समी.(2) में y =5 रखने पर

x −5 =4

∴ x=4+5 =9

अतः दी गई रैखिक समीकरण युग्म का हल x =9 व y =5 है।

प्रश्न 1:हल (ii) s −t =3 …(1)

$\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6$

प्रत्येक पद को 6 से गुणा करने पर

2s +3t =36 …(2)

समी.(1) से s =3+t समी.(2) में प्रतिस्थापित करने पर

2 (3 +t)+3t =36

6 +2t +3t =36

5t =36 −6

$t=\frac{30}{5}$

∴ t =6

समी.(1) में t =6 रखने पर

s −6 =3

∴ s =3 +6 =9

अतः दी गई रैखिक समीकरण युग्म का हल s =9 व t =6 है।

प्रश्न 1:हल (iii) 3x −y =3 ….(1)

9x −3y =9

प्रत्येक पद में 3 से भाग देने पर

3x −y =3 …(2)

समी.(1) से y =3x−3 समी.(2) में प्रतिस्थापित करने पर

3x −(3x−3)=3

या 3 =3

यह कथन x के सभी मानों के लिए सत्य है।

यह स्थिति इसलिए पैदा हुई क्योंकि दी हुई दोनों समीकरण एक ही है।

अतः दी गई रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित रूप अनेक हल विध्यमान है।

प्रश्न 1:हल (iv)

0.2x+0.3y =1.3

प्रत्येक पद को 10 से गुणा करने पर

या 2x+3y =13 ….(1)

तथा 0.4x +0.5y =2.3

प्रत्येक पद को 10 से गुणा करने पर

4x +5y =23 ….(2)

समी.(1) से $x=\frac{13-3y}{2}$ समी.(2) में प्रतिस्थापित करने पर

$4(\frac{13-3y}{2})+5y=23$

2(13−3y)+5y =23

26 −6y+5y =23

−y =23 −26

∴ y =3

समी.(2) में y =3 रखने पर

4x +5(3)=23

या 4x =23 −15

$x=\frac{8}{4}$

∴ x =2

अतः दी गई रैखिक समीकरण युग्म का हल x =2 व y =3 है।

प्रश्न 1:हल (v)

$\sqrt{2}x+\sqrt{3}y=0...(1)$

$\sqrt{3}x-\sqrt{8}y=0...(2)$

समी.(1) से $y=\frac{-\sqrt{2}x}{\sqrt{3}}$ समी.(2) में रखने पर

$\sqrt{3}x-\sqrt{8}(\frac{-\sqrt{2}x}{\sqrt{3}})=0$

$\sqrt{3}x+\frac{\sqrt{16}x}{\sqrt{3}}=0$

$(\frac{3+4}{\sqrt{3}})x=0$

∴ x =0

समी.(2) में x =0 रखने पर

$\sqrt{3}(0)+\sqrt{8}y=0$

∴ y =0

अतः दी गई रैखिक समीकरण युग्म का हल x =0 व y =0 है।

प्रश्न 1:हल (vi)

$\frac{3x}{2}-\frac{5y}{3}=-2$

प्रत्येक पद को 6 से गुणा करने पर

9x −10y =−12

$x=\frac{10y-12}{9}$ …(1)

तथा $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=\frac{13}{6}$

प्रत्येक पद को 6 से गुणा करने पर

2x +3y =13 …(2)

समी.(1) से x का मान समी.(2) में प्रतिस्थापित करने पर

$2(\frac{10y-12}{9})+3y=13$

प्रत्येक पद को 9 से गुणा करने पर

2(10y−12)+27y =117

20y −24 +27y =117

47y =117 +24

$y=\frac{141}{47}$

∴ y =3

समी.(2) में y =3 रखने पर

2x +3(3) =13

2x =13 −9

$x=\frac{4}{2}$

∴ x =2

अतः दी गई रैखिक समीकरण युग्म का हल x =2 व y =3 है।

प्रश्न 2: 2x +3y =11 और 2x −4y =−24 को हल कीजिए और इससे ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए

जिसके लिए y =mx +3 हो।

हल: 2x +3y =11

या $x=\frac{11-3y}{2}$ …..(1)

तथा 2x −4y =−24 ….(2)

समी.(1) से x का मान समी.(2) में प्रतिस्थापित करने पर

$2(\frac{11-3y}{2})-4y=-24$

या 11 -3y -4y =−24

−7y =−24 −11

$y=\frac{-35}{-7}$

∴ y =5

समी.(1) में y =5 रखने पर

$x=\frac{11-3(5)}{2}$

$x=\frac{-4}{2}$

∴ x =−2

अतः दी गई रैखिक समीकरण युग्म का हल x =−2 व y =5 है।

दी गई रैखिक समीकरण y =mx +3 में x =−2 व y =5 रखने पर

5 =m(-2)+3

या 2m =3 −5

$m=\frac{-2}{2}$

∴ m =−1

प्रश्न 3: निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए :

(i) दो संख्याओं का अंतर् 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि एक संख्या x व दूसरी संख्या y है।

तब प्रश्नानुसार ,

x −y =26 ….(1)

तथा x =3y (क्यो?)…(2)

(क्योंकि एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है।)

समी.(2) से x का मान समी.(1) में प्रतिस्थापित करने पर

3y −y =26

2y =26

$y=\frac{26}{2}$

∴ y =13

समी.(2) में y =13 रखने पर

x =3(13)

∴ x =39

अतः संख्याएँ 39 व 13 है।

प्रश्न 3: (ii) दो सम्पूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि बड़ा कोण x व छोटा कोण y है।

तब प्रश्नानुसार ,

x +y =180°(क्यों?)…(1)

(क्योंकि कोण सम्पूरक है अर्थात उनका योग 180°है।)

पुनः x =y +18 (क्यों?)…(2)

(क्योंकि बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है।)

समी.(2) से x का मान समी.(1) में प्रतिस्थापित करने पर

y +18+y =180°

2y =180 −18

$y=\frac{162}{2}$

∴ y =81°

समी.(2) में y =81 रखने पर

x =81 +18

∴ x = 99°

अतः बड़ा कोण 99° व छोटा कोण 81° है।

प्रश्न 3: (iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदे 3800 रु में खरीदी। बाद में उसने

3 बल्ले तथा 5 गेंदें 1750 रु में खरीदी। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि एक बल्ले का मूल्य x रु व एक गेंद का मूल्य y रु है।

तब प्रश्नानुसार ,स्थिति-I

7x +6y =3800 ….(1)

तथा स्थिति-II

3x +5y =1750

या $x=\frac{1750-5y}{3}$ ….(2)

समी.(2) से x का मान समी.(1) में प्रतिस्थापित करने पर

$7(\frac{1750-5y}{3})+6y=3800$

दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर

7(1750−5y)+18y =11400

12250 −35y +18y =11400

−17y =11400 −12250

$y=\frac{-850}{-17}$

∴ y =50

समी.(2) में y =50 रखने पर

$x=\frac{1750-5(50)}{3}$

$x=\frac{1750-250}{3}$

$x=\frac{1500}{3}$

∴ x =500

अतः एक बल्ले का मूल्य 500 रु तथा एक गेंद का मूल्य 50 रु है।

प्रश्न 3: (iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा

सम्मिलित किया जाता है। 10 km दूरी के लिए भाड़ा 105 रु है तथा 15 km के लिए भाड़ा 155 रु

है। नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा क्या है ?एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना

भाड़ा देना होगा ?

हल: माना कि नियत भाड़ा x रु तथा अतिरिक्त प्रति km भाड़ा y रु है।

तब प्रश्नानुसार,स्थिति-I

x +10y =105 (क्यों?)….(1)

(क्योंकि नियत किराया तो देना ही होगा ,उसके अतिरिक्त 10 km का किराया ओर।)

तथा स्थिति-II

x +15y =155 (क्यों?)….(2)

(क्योंकि नियत किराया तो देना ही होगा ,उसके अतिरिक्त 15 km का किराया ओर।)

समी.(1) से x =105 −10y समी.(2) में रखने पर

105 −10y+15y =155

5y =155 −105

$y=\frac{50}{5}$

∴ y =10

समी.(2) में y =10 रखने पर

x +15(10) =155

या x =155 −150

∴ x =5

अतः नियत भाड़ा 5 रु तथा अतिरिक्त प्रति km भाड़ा 10 रु है।

∴ एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए निम्नानुसार किराया देना होगा –

नियत भाड़ा +25×(अतिरिक्त प्रति km भाड़ा)

5 +25(10)

=255 रु

प्रश्न 3: (v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए ,तो वह 9 /11 हो जाती है।

यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए ,तो वह 5 /6 हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।

हल: माना की भिन्न का अंश x व हर y है।

तब प्रश्नानुसार ,स्थिति-I

$\frac{x+2}{y+2}=\frac{9}{11}$

वज्र गुणन करने पर

11(x +2)=9(y +2)

11x +22 =9y +18

या 11x =9y +18 −22

$x=\frac{9y-4}{11}$ …(1)

तथा स्थिति-II

$\frac{x+3}{y+3}=\frac{5}{6}$

वज्र गुणन करने पर

6(x +3)=5(y +3)

6x +18 =5y +15

या 6x −5y =15 −18

6x −5y =−3 …(2)

समी.(1) से x का मान समी.(2) में प्रतिस्थापित करने पर

$6(\frac{9y-4}{11})-5y=-3$

प्रत्येक पद को 11 से गुणा करने पर

6(9y−4)−55y =−33

54y −24 −55y =−33

−y =−33 +24

या −y =−9

∴ y =9

समी.(1) में y =9 रखने पर

$x=\frac{9(9)-4}{11}$

$x=\frac{77}{11}$

∴ x =7

अतः अभीष्ट भिन्न 7 /9 है।

प्रश्न 3: (vi) पांच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पांच वर्ष पूर्व

जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या है?

हल: माना कि जैकब की वर्तमान आयु x वर्ष तथा पुत्र की वर्तमान आयु y वर्ष है।

तब प्रश्नानुसार ,स्थिति-I

5 वर्ष बाद जैकब की आयु x+5 व पुत्र की आयु y+5 होगी।

∴ x+5 =3(y+5) (जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी)

x =3y+15−5

या x =3y +10 …(1)

स्थिति-II

5 वर्ष पूर्व जैकब की आयु x−5 व पुत्र की आयु y−5 रही होगी।

∴ x−5 =7(y−5) (जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी)

x =7y−35 +5

या x −7y =−30 …(2)

समी.(1) से x का मान समी.(2) में प्रतिस्थापित करने पर

3y +10−7y =−30

−4y =−30−10

$y=\frac{-40}{-4}$

∴ y =10

समी.(1) में y =10 रखने पर

x =3(10) +10

या x =30 +10

∴ x =40

अतः जैकब की वर्तमान आयु 40 वर्ष तथा पुत्र की वर्तमान आयु 10 वर्ष है।