NCERT MATHS SOLUTIONS FOR CLASS 10-(6.4)

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NCERT MATHS SOLUTIONS FOR CLASS 10

CHAPTER-6 त्रिभुज

प्रश्नावली 6.4

प्रश्न 1: मान लीजिए ΔABC∼ΔDEF है और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64 cm² और 121 cm²

है। यदि EF =15.4 cm हो ,तो BC ज्ञात कीजिए।

हल: हम जानते है कि

$\frac{ar(ABC)}{ar(DEF)}=\frac{(BC)^{2}}{(EF)^{2}}$ (प्रमेय 6.6 से)

[प्रमेय 6.6-दो समरुप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओं के वर्गों के

अनुपात के बराबर होता है।]

$\therefore \frac{64cm^{2}}{121cm^{2}}=\frac{(BC)^{2}}{(15.4cm)^{2}}$

$\therefore \frac{(8cm)^{2}}{(11cm)^{2}}=\frac{(BC)^{2}}{(15.4cm)^{2}}$

$\frac{(8cm)}{(11cm)}=\frac{(BC)}{(15.4cm)}$

$\frac{(8cm)(15.4cm)}{(11cm)}=BC$

∴ BC =11.2 cm

प्रश्न 2: एक समलंब ABCD जिसमें AB∥DC है ,के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद

करते है। यदि AB=2CD हो तो त्रिभुजों AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात

कीजिए।

हल: NCERT MATHS FOR CLASS 10

दिया है: समलंब ABCD में AB∥DC है तथा विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते है।

तथा AB=2CD

तब Δ AOB व Δ COD में

∠AOB =∠COD (शीर्षाभिमुख कोण)

∠OAB =∠OCD (एकान्तर कोण)

अतः AA समरुपता से

Δ AOB ∼ Δ COD

$\therefore \frac{ar(AOB)}{ar(COD)}=\frac{(AB)^{2}}{(CD)^{2}}$ (प्रमेय 6.6 से)

$\therefore \frac{ar(AOB)}{ar(COD)}=\frac{(2CD)^{2}}{(CD)^{2}}$ (दिया है AB=2CD)

$\therefore \frac{ar(AOB)}{ar(COD)}=\frac{4}{1}$

अतः त्रिभुजों AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात 4:1 है।

प्रश्न 3: आकृति 6.44 में एक आधार BC पर दो त्रिभुज ABC और DBC बने हुए है। यदि

AD ,BC को O पर प्रतिच्छेद करें तो दर्शाइए कि $\frac{ar(ABC)}{ar(DBC)}=\frac{AO}{DO}$ है।

हल: रचना: ΔABC में AE⊥BC व ΔDBC में DF⊥BC डाला।

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ΔAEO व ΔDFO में

∠AOE =∠DOF (शीर्षाभिमुख कोण)

∠AEO =∠DFO (समकोण)

अतः AA समरूपता कसौटी से

ΔAEO ∼ ΔDFO

$\therefore \frac{AE}{DF}=\frac{AO}{DO}....(1)$

(क्योंकि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती है।)

$\frac{ar(ABC)}{ar(DBC)}=\frac{\frac{1}{2}\times BC\times AE}{\frac{1}{2}\times BC\times DF}$

(क्योकि त्रिभुज का क्षेत्रफल=½×आधार×ऊंचाई)

$\frac{ar(ABC)}{ar(DBC)}=\frac{AE}{DF}$

$\therefore \frac{ar(ABC)}{ar(DBC)}=\frac{AO}{DO}$ [(1) से]

इति सिद्धम।

प्रश्न 4: यदि दो समरुप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हो तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज

सर्वांगसम होते है।

हल: माना कि दो त्रिभुज ABC व त्रिभुज PQR है।

दिया है: ΔABC ∼Δ PQR

तथा ar (ABC)=ar (PQR) ….(1)

सिद्ध करना है: ΔABC ≅ Δ PQR

उपपत्ति: चूँकि ΔABC ∼Δ PQR

$\therefore \frac{ar(ABC)}{ar(PQR)}=\frac{(AB)^{2}}{(PQ)^{2}}=\frac{(BC)^{2}}{(QR)^{2}}=\frac{(AC)^{2}}{(PR)^{2}}$ (प्रमेय 6.6 से)

$\frac{ar(PQR)}{ar(PQR)}=\frac{(AB)^{2}}{(PQ)^{2}}=\frac{(BC)^{2}}{(QR)^{2}}=\frac{(AC)^{2}}{(PR)^{2}}$ [(1) से]

$1=\frac{(AB)^{2}}{(PQ)^{2}}=\frac{(BC)^{2}}{(QR)^{2}}=\frac{(AC)^{2}}{(PR)^{2}}$ …(2)

समी.(2) में प्रथम व द्वितीय ,प्रथम व तृतीय ,तथा प्रथम व चतुर्थ पदों की तुलना

करने पर

⇒ AB=PQ , BC=QR तथा AC=PR …(3)

AB ΔABC व Δ PQR में

AB=PQ [(3) से]

BC=QR [(3) से]

AC=PR [(3) से]

अतः SSS सर्वांगसमता नियम से

ΔABC ≅ Δ PQR

इति सिद्धम।

प्रश्न 5: एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB ,BC और CA के मध्य-बिंदु क्रमशः D, E

और F है। Δ DEF और Δ ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल: NCERT MATHS FOR CLASS 10

दिया है: D व F क्रमशः भुजा AB व AC के मध्य बिंदु है।

अतः BC=2DF (मध्य बिंदु प्रमेय से) …(1)

पुनः D व E क्रमशः भुजा AB व BC के मध्य बिंदु है।

अतः AC=2DE (मध्य बिंदु प्रमेय से) …(2)

तथा E व F क्रमशः भुजा BC व AC के मध्य बिंदु है।

अतः AB=2EF (मध्य बिंदु प्रमेय से) …(3)

अब $\frac{EF}{AB}=\frac{EF}{2EF}=\frac{1}{2}$ [(3) से]

$\frac{DF}{BC}=\frac{DF}{2DF}=\frac{1}{2}$ [(1) से]

$\frac{DE}{AC}=\frac{DE}{2DE}=\frac{1}{2}$ [(2) से]

अर्थात

$\frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BC}=\frac{DE}{AC}=\frac{1}{2}$ …(4)

अब Δ DEF व ΔABC में

$\frac{EF}{AB}=\frac{FD}{BC}=\frac{ED}{AC}$ [(4) से]

अतः SSS समरूपता कसौटी से

Δ EFD ∼Δ ABC

$\therefore \frac{ar(DEF)}{ar(ABC)}=\frac{(EF)^{2}}{(AB)^{2}}$ (प्रमेय 6.6 से )

$\therefore \frac{ar(DEF)}{ar(ABC)}=\frac{(EF)^{2}}{(2EF)^{2}}$ [(3) से]

$\therefore \frac{ar(DEF)}{ar(ABC)}=\frac{1}{4}$

अतः त्रिभुजों DEF औरABC के क्षेत्रफलों का अनुपात 1:4 है।

प्रश्न 6: सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत

मध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है।

हल:माना कि दो समरूप त्रिभुज ABC व PQR है ,जिनमें क्रमशः मध्यिकाएँ AD व PM है।

दिया है : Δ ABC∼Δ PQR

सिद्ध करना है: $\frac{ar(ABC)}{ar(PQR)}=\frac{(AD)^{2}}{(PM)^{2}}$

उपपत्ति: चूँकि Δ ABC∼Δ PQR

अतः $\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{AC}{PR}...(1)$

परतु BC=2BD [क्योंकि D, BC का मध्य बिंदु है।]

तथा QR=2QM [क्योंकि M, QR का मध्य बिंदु है।]

BC व QR का मान (1) में रखने पर

$\frac{AB}{PQ}=\frac{2BD}{2QM}=\frac{AC}{PR}$

$\frac{AB}{PQ}=\frac{BD}{QM}=\frac{AC}{PR}...(2)$

ΔABD व ΔPQM में

∠B =∠Q [क्योंकि Δ ABC∼Δ PQR]

$\frac{AB}{PQ}=\frac{BD}{QM}$ [(2) से]

अतः SAS समरूपता कसौटी से

ΔABD∼ ΔPQM

$\frac{AB}{PQ}=\frac{BD}{QM}=\frac{AD}{PM}....(3)$

पुनः Δ ABC∼Δ PQR

$\frac{ar(ABC)}{ar(PQR)}=\frac{(AB)^{2}}{(PQ)^{2}}$

(3) से AB/PQ का मान रखने पर

$\frac{ar(ABC)}{ar(PQR)}=\frac{(AD)^{2}}{(PM)^{2}}$

इति सिद्धम।

प्रश्न 7: सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का

क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा

होता है।

हल:माना कि ABCD एक वर्ग है जिसकी भुजा x है अतः विकर्ण √2 x(कैसे ?) होगा।

[ΔABC में पाइथोगोरस प्रमेय से

AC²=x²+x²=2x²

∴ विकर्ण (AC)=√2 x ]

पुनः भुजा BC पर एक समबाहु त्रिभुज BFC है तथा

विकर्ण AC पर समबाहु त्रिभुज AEC है।

हमें सिद्ध करना है: $ar(BFC)=\frac{1}{2}ar(AEC)$

उपपत्ति: चूँकि ΔBFC व ΔAEC समबाहु त्रिभुज है।

∴ ΔBFC ∼ ΔAEC

$\therefore \frac{ar(BFC)}{ar(AEC)}=\frac{(BC)^{2}}{(AC)^{2}}$

$\therefore \frac{ar(BFC)}{ar(AEC)}=\frac{(x)^{2}}{(\sqrt{2}x)^{2}}$

$\therefore \frac{ar(BFC)}{ar(AEC)}=\frac{1}{2}$

$\therefore ar(BFC)=\frac{1}{2}ar(AEC)$

इति सिद्धम।

सही उत्तर को चुनिए और अपने उत्तर का औचित्य दीजिए :(MATHS SOLUTIONS)

प्रश्न 8: ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार है कि D भुजा BC का मध्य-बिंदु

है। त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात है:

(A) 2:1 (B) 1:2 (C) 4:1 (D) 1:4

उत्तर: (C) 4:1

औचित्य:- समबाहु ΔABC में

AB=BC=AC=x(माना)…(1)

समबाहु ΔBDE में

BD=½BC (चूँकि D भुजा BC का मध्य-बिंदु है।)

$BD=\frac{1}{2}x=DE=BE$ [(1) से]….(2)

चूँकि ΔABC ∼ΔBDE (दोनों समबाहु त्रिभुज है।)

$\therefore \frac{ar(ABC)}{ar(BDE)}=(\frac{AB}{BD})^{2}$

(1) व (2) से मान रखने पर

$\therefore \frac{ar(ABC)}{ar(BDE)}=(\frac{x}{\frac{1}{2}x})^{2}=(\frac{2}{1})^{2}$

$\therefore \frac{ar(ABC)}{ar(BDE)}=\frac{4}{1} or 4:1$

प्रश्न 9: दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4:9 के अनुपात में है। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों

का अनुपात है :

(A) 2:3 (B) 4:9 (C) 81:16 (D) 16:81

उत्तर: (D) 16:81

औचित्य :- हम जानते है कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत

भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

अतः दिए त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात

$=(\frac{4}{9})^{2}=\frac{16}{81} or16:81$

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