NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 10
CHAPTER-6 त्रिभुज
प्रश्नावली 6.3
प्रश्न 1: बताइए कि आकृति 6.34 में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-कौन से युग्म समरूप
है। उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा
साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।
(i) 
हल: चित्रानुसार ,
Δ ABC व Δ PQR में
∠A=∠P
∠B=∠Q
∠C=∠R
अतः AAA समरुपता कसौटी से
Δ ABC∼Δ PQR
प्रश्न 1:(ii) 
हल: चित्रानुसार ,
Δ ABC व Δ PQR में
अर्थात
अतः SSS समरुपता कसौटी से
Δ ABC∼Δ QRP
प्रश्न 1:(iii) 
हल: चित्रानुसार ,
Δ ABC व Δ PQR में
यहां
अतः Δ ABC , Δ PQR के समरूप नहीं है।
प्रश्न 1:(iv) 
हल: चित्रानुसार ,
Δ MNL व Δ PQR में
∠M=∠Q
अतः SAS समरुपता कसौटी से
Δ MNL ∼Δ QPR
प्रश्न 1:(v) 
हल: चित्रानुसार ,
Δ ABC व Δ DEF में
अर्थात
परन्तु ∠B को ∠F के बराबर सिद्ध करने के लिए हमारे पास पर्याप्त जानकारी
उपलब्ध नहीं है।
अतः Δ ABC , Δ DFE के समरूप नहीं है।
प्रश्न 1:(vi) 
हल: Δ DEF में
∠F =180°−(70°+80°)=30°
तथा Δ PQR में
∠P =180°−(80°+30°)=70°
अब Δ DEF व Δ PQR में
∠D=∠P
∠E=∠Q
∠F=∠R
अतः AAA समरुपता कसौटी से
Δ DEF∼Δ PQR
प्रश्न 2: आकृति 6.35 में, Δ OCD ∼Δ OBA, ∠BOC=125° और ∠CDO =70° है।
∠DOC ,∠DCO ,और ∠OAB ज्ञात कीजिए।
हल: दिया है :∠BOC=125° और ∠CDO =70°
तथा Δ OCD ∼Δ OBA
अतः ∠CDO=∠OAB=70° ans(1)
∠DOC =180°−∠BOC (रैखिक युग्म)
∴ ∠DOC =180°−125°=55° ans(2)
हम जानते है कि त्रिभुज के तीनो कोणों का योग 180° होता है।
अतः ΔOCD में
∠DCO+∠CDO+∠DOC=180°
या ∠DCO=180°−(∠CDO+∠DOC)
∴ ∠DCO=180°−(70°+55°)
=180°−(125°)=55° ans(3)
प्रश्न 3: समलंब ABCD ,जिसमें AB∥DC है ,के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर
प्रतिच्छेद करते है। दो त्रिभुजों की समरुपता कसौटी का प्रयोग करते हुए ,दर्शाइए कि
है।
हल:
दिया है: समलंब चतुर्भुज ABCD में AB∥DC
अतः ΔAOB व ΔCOD में
∠AOB=∠COD (शीर्षाभिमुख कोण)
∠OAB=∠OCD (एकान्तर कोण)
∠OBA=∠ODC (एकान्तर कोण)
अतः AAA समरूपता कसौटी से
ΔAOB∼ ΔCOD
अतः संगत भुजाएँ समानुपाती होगी।
अर्थात
प्रश्न 4: आकृति 6.36 में, तथा ∠1=∠2 है। दर्शाइए कि
Δ PQS∼Δ TQR है।
हल: दिया है: ΔPQR में ∠1=∠2
अतः QP=PR …(1)(कैसे?)
(क्योंकि किसी त्रिभुज में समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ भी समान होती है।)
पुनः दिया है
या [(1) से ]
अब ΔPQS व ΔTQR में
∠Q =∠Q (उभयनिष्ठ कोण)
तथा
अतः SAS समरूपता कसौटी से
Δ PQS∼Δ TQR
प्रश्न 5: Δ PQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः बिंदु S और T इस प्रकार स्थित
है कि ∠P=∠RTS है। दर्शाइए कि ΔRPQ∼ΔRTS है।
हल: 
ΔRPQ व ΔRTS में
∠RPQ=∠RTS (दिया है)
∠R=∠R (उभयनिष्ठ कोण)
अतः AA समरूपता कसौटी से
ΔRPQ∼ΔRTS
प्रश्न 6: आकृति 6.37 में, यदि ΔABE ≅ΔACD है ,तो दर्शाइए कि ΔADE∼ΔABC है।
हल: दिया है: ΔABE ≅ΔACD
अतः AD=AE …(1)
तथा AB=AC …(2)
(1) व (2) से
अब त्रिभुज ΔADE व ΔABC में
∠A=∠A (उभयनिष्ठ कोण)
तथा (हमने सिद्ध किया है।)
अतः SAS समरूपता कसौटी से
ΔADE∼ΔABC
प्रश्न 7: आकृति 6.38 में, यदि ΔABC के शीर्षलम्ब AD और CE परस्पर बिंदु P पर
प्रतिच्छेद करते है। दर्शाइए कि :
(i) ΔAEP∼ΔCDP
(ii) ΔABD∼ΔCBE
(iii) ΔAEP∼ΔADB
(iv) ΔPDC∼ΔBEC
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प्रश्न 7:हल (i):
चित्रानुसार, ΔAEP व ΔCDP में
∠AEP=∠CDP (समकोण)
∠APE=∠CPD (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः AA समरूपता कसौटी से
ΔAEP∼ΔCDP
प्रश्न 7:हल (ii):
चित्रानुसार, ΔABD व ΔCBE में
∠ADB=∠CEB (समकोण)
∠ABD=∠CBE (उभयनिष्ठ कोण)
अतः AA समरूपता कसौटी से
ΔABD∼ΔCBE
प्रश्न 7:हल (iii):
चित्रानुसार, ΔAEP व ΔADB में
∠AEP=∠ADB (समकोण)
∠PAE=∠BAD (उभयनिष्ठ कोण)
अतः AA समरूपता कसौटी से
ΔAEP∼ΔADB
प्रश्न 7:हल (iv):
चित्रानुसार, ΔPDC व ΔBEC में
∠PDC=∠BEC (समकोण)
∠PCD=∠BCE (उभयनिष्ठ कोण)
अतः AA समरूपता कसौटी से
ΔPDC∼ΔBEC
प्रश्न 8: समांतर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है
तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि ΔABE∼ΔCFB है।
हल: 
चूँकि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
अतः ∠A=∠C …(1)(समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)
पुनः AD∣∣BC
∴ AE∣∣BC तथा BE तिर्यक रेखा है।
अतः ∠AED=∠CBF …(2)(एकान्तर कोण)
अब ΔABE व ΔCFB में
∠A=∠C [(1) से ]
∠AED=∠CBF [(2) से ]
अतः AA समरूपता कसौटी से
ΔABE∼ΔCFB
प्रश्न 9: आकृति 6.39 में, यदि ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज है ,जिनके कोण
B और M समकोण है।
सिद्ध कीजिए कि :
(i) ΔABC∼ΔAMP
प्रश्न 9:हल(i)
चित्रानुसार, ΔABC व ΔAMP में
∠ABC=∠AMP (समकोण)
∠BAC=∠MAP (उभयनिष्ठ कोण)
अतः AA समरूपता कसौटी से
ΔABC∼ΔAMP
प्रश्न 9:हल(ii)
चूँकि ΔABC∼ΔAMP (हमने सिद्ध किया है।)
अतः ΔABC की भुजाएँ ΔAMP की भुजाओं के साथ समानुपाती होगी।
∴
प्रश्न 10: CD और GH क्रमशः ∠ACB और ∠EGF के ऐसे समद्विभाजक है कि बिंदु
D और H क्रमशः ΔABC और ΔFEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित है। यदि
ΔABC∼ΔFEG है ,तो दर्शाइए कि :
(ii) ΔDCB∼ΔHGE
(iii) ΔDCA∼ΔHGF
हल: 
दिया है: ΔABC∼ΔFEG
∴ ∠BAC=∠EFG, ∠ABC=∠FEG, ∠ACB=∠FGE …(1)
(क्योंकि समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते है।)
तथा
(क्योंकि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती है।)
पुनः CD और GH क्रमशः ∠ACB और ∠EGF के समद्विभाजक है।
अतः ∠ACB=2∠BCD या 2∠ACD
तथा ∠EGF=2∠EGH या 2∠FGH
परन्तु (1) से ∠ACB=∠FGE
अतः 2∠BCD=2∠EGH
⇒∠BCD=∠EGH …(3)
या 2∠ACD= 2∠FGH
⇒∠ACD= ∠FGH …..(4)
(ii) ΔDCB व ΔHGE में
∠BCD=∠EGH [(3) से]
तथा ∠B=∠E [क्योंकि ΔABC∼ΔFEG]
अतः AA समरूपता कसौटी से
ΔDCB∼ΔHGE
(iii) ΔDCA व ΔHGF में
∠ACD= ∠FGH [(4) से]
तथा ∠A=∠F [क्योंकि ΔABC∼ΔFEG]
अतः AA समरूपता कसौटी से
ΔDCA∼ΔHGF
(i) चूँकि ΔDCA∼ΔHGF
अतः
(क्योंकि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती है।)
प्रश्न 11: आकृति 6.40 में, AB=AC वाले ,एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई
भुजा CB पर स्थित E एक बिंदु है। यदि AD⊥BC और EF⊥AC है तो सिद्ध कीजिए
कि ΔABD∼ΔECF है।
हल: दिया है: Δ ABC में AB=AC
अतः ∠B=∠C …(1)(समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
अब ΔABD व ΔECF में
∠B=∠C [(1) से]
∠ADB=∠EFC [क्योंकि AD⊥BC और EF⊥AC]
अतः AA समरूपता कसौटी से
ΔABD∼ΔECF
प्रश्न 12: एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज
PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती है (देखिए
आकृति 6.41)। दर्शाइए कि ΔABC∼ΔPQR है।
हल: दिया है: ….(1)
परन्तु D, BC का मध्य बिंदु है।
∴ BC=2BD …(2)
इसी प्रकार M, QR का मध्य बिंदु है।
∴ QR=2QM …(3)
(2) व (3) से मान (1) में रखने पर
अतः SSS समरूपता कसौटी से
Δ ABD∼Δ PQM
∴ ∠B=∠Q …(4)
अब ΔABC व ΔPQR में
∠B=∠Q [(4) से]
तथा [(1) से]
अतः SAS समरूपता कसौटी से
ΔABC∼ΔPQR
प्रश्न 13: एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC
=∠BAC है। दर्शाइए कि CA2 =CB.CD है।
हल: 
यहां Δ ABC व Δ DAC में
∠BAC=∠ADC (दिया है।)
∠C=∠C (उभयनिष्ठ कोण)
अतः AA समरूपता कसौटी से
Δ ABC∼Δ DAC
अतः (समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती है।)
या CA2 =CB.CD
इति सिद्धम।
प्रश्न 14: एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ ABऔर AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज
की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती है। दर्शाइए कि
ΔABC∼ΔPQR है।
हल:
दिया है: ….(1)
सिद्ध करना है: ΔABC∼ΔPQR
रचना: ΔABC में भुजा AB का मध्य बिंदु E लिया जिसे D से मिलाया,
तथा ΔPQR में भुजा PQ का मध्य बिंदु N लिया जिसे M से मिलाया।
ΔABC में E व D बिंदु क्रमशः भुजा AB व BC के मध्य बिंदु है,
तथा ΔPQR में N व M बिंदु क्रमशः भुजा PQ व QR के मध्य बिंदु है
अतः मध्य बिंदु प्रमेय से (यह प्रमेय आपने कक्षा 9 में पढ़ी है।)
[मध्य बिंदु प्रमेय-किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा
तीसरी भुजा के समान्तर तथा उसकी आधी होती है।]
AC=2ED तथा PR=2NM
AC व PR के मान (1) में रखने पर
अतः SSS समरुपता कसौटी से
ΔAED∼ΔPNM
∴ ∠EAD =∠NPM …(2)
(क्योंकि समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते है।)
इसी प्रकार से
ΔABC व ΔPQR की AC व PR भुजाओं के मध्य बिंदु क्रमशः F व O लेने पर
ΔAFD∼ΔPOM
∴ ∠FAD =∠OPM …(3)
समी.(2) व (3) को जोड़ने पर
∴ ∠EAD+∠FAD =∠NPM+∠OPM
⇒ ∠A =∠P ….(4)
ΔABC व ΔPQR में
∠A =∠P [(4) से]
तथा [(1) से]
अतः SAS समरुपता कसौटी से
ΔABC∼ΔPQR
इति सिद्धम।
प्रश्न 15: लम्बाई 6 m वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लम्बाई 4 m है,
जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई 28 m है। मीनार की ऊंचाई ज्ञात
कीजिए।
हल: 
माना कि ऊर्ध्वाधर स्तम्भ AB है ,जिसकी छाया BC है।
तथा मीनार PQ है ,जिसकी छाया QR है।
दिया है: AB=6 m, BC=4 m,
QR=28 m तथा PQ=?
ΔABC व ΔPQR में
∠A=∠P (क्योंकि एक ही समय पर सूर्य किरण हर वस्तु पर समान कोण से गिरेगी।)
∠B=∠Q (समकोण)
अतः AA समरूपता कसौटी से
Δ ABC∼Δ PQR
∴ (समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती है।)
[चूँकि AB=6 m, BC=4 m, QR=28 m]
PQ= 42
अतः मीनार की ऊंचाई 42 m है।
प्रश्न 16: AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR की क्रमशः मध्यिकाएँ है ,जबकि
ΔABC∼ΔPQR है। सिद्ध कीजिए कि है।
हल:
दिया है: ΔABC∼ΔPQR
अतः
तथा ∠A=∠P, ∠B=∠Q, ∠C=∠R,….(2)
प्रश्नानुसार ,
D, BC का मध्य बिंदु है।
∴ BC=2BD …(3)
इसी प्रकार M, QR का मध्य बिंदु है।
∴ QR=2QM …(4)
(3) व (4) से मान (1) में रखने पर
ΔABD व ΔPQM में
∠B=∠Q [(2) से]
तथा [(5) से]
अतः SAS समरूपता कसौटी से
ΔABD∼ΔPQM
∴ (समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती है।)
इति सिद्धम।
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