त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

CHAPTER-9

त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

प्रश्नावली 9.1

प्रश्न 1: सर्कस का एक कलाकार एक 20 m लम्बी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह

से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खम्बे के शिखर से बंधा हुआ है। यदि भूमि स्तर

के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30° का हो ,तो खम्बे की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

हल: CLASS 10 MATHS

माना कि खम्बे की ऊंचाई (AB)=h m

तथा डोरी की लम्बाई (AC)=20 मीटर

दिया है ∠ACB =30°

समकोण ΔABC में

sin30°=लम्ब/कर्ण =AB/AC

$\frac{1}{2}=\frac{h}{20}$

$h=\frac{20}{2}=10$

अतः खम्बे की ऊंचाई 10 m है।

प्रश्न 2: आंधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है

कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30° का कोण बनाता है।

पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी ,जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है ,8 मीटर है। पेड़ की

ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

हल: CLASS 10 MATHS

माना कि टूटने से पहले पेड़ की ऊंचाई (या लम्बाई) BD थी।

आँधी आने से पेड़ A स्थान से टूटकर जमीन को C बिंदु पर छूता है। तब

माना कि टूटे हुए भाग की लम्बाई x मीटर तथा बिना टूटे हुए भाग की लम्बाई h मीटर है।

अर्थात AD =AC =x मीटर

तथा AB =h मीटर

BC =8 मीटर (दिया है)

साथ ही टूटा हुआ भाग जमीन से 30° का कोण बनाता है अतः

∠ACB =30°

समकोण त्रिभुज ABC में ,

$tan30^{\circ}=\frac{AB}{BC}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{8}$

√3 h =8

$\Rightarrow h=\frac{8}{\sqrt{3}}$

पुनः समकोण त्रिभुज ABC में ,

$cos30^{\circ}=\frac{BC}{AC}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{8}{x}$

x√3 =16

$\Rightarrow x=\frac{16}{\sqrt{3}}$

पेड़ की कुल लम्बाई BD =AB+AD

$h+x=\frac{8}{\sqrt{3}}+\frac{16}{\sqrt{3}}$

$=\frac{8+16}{\sqrt{3}}=\frac{24}{\sqrt{3}}$

$=\frac{24}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{24\sqrt{3}}{3}$

= 8√3=8×1.732 (∵√3=1.732)

=13.86 मीटर

अतः पेड़ की ऊंचाई (या लम्बाई) 13.86 मीटर है।

प्रश्न 3: एक ठेकेदार बच्चों के खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना

चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना

चाहती है जिसका शिखर 1.5 मीटर की ऊंचाई पर हो और भूमि के साथ 30° के

कोण पर झुका हुआ हो ,जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3 मीटर की

ऊंचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है ,जो भूमि के साथ 60°

का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लम्बाई क्या होनी चाहिए।

हल: स्थिति-I

जब ठेकेदार 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी लगाती है ,

तब फिसलपट्टी की ऊंचाई AB =1.5 m तथा भूमि के साथ कोण ∠ACB =30°

CLASS 10 MATHS

समकोण ΔABC में

$sin30^{\circ}=\frac{AB}{AC}$

$\frac{1}{2}=\frac{1.5}{AC}$

⇒AC=2×1.5=3 मीटर

स्थिति-II

जब ठेकेदार 5 वर्ष से अधिक उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी लगाती है ,

तब फिसलपट्टी की ऊंचाई PQ =3 m तथा भूमि के साथ कोण ∠PRQ =60°

CLASS 10 MATHS

समकोण ΔPQR में,

$sin60^{\circ}=\frac{PQ}{PR}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{PR}$

$PR=\frac{3\times 2}{\sqrt{3}}$

⇒PR=2√3 मीटर

अतः 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी की लम्बाई (AC)=3 मीटर

तथा 5 वर्ष से अधिक उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी की लम्बाई (PR)=2√3 मीटर

प्रश्न 4: भूमि के एक बिंदु से ,जो मीनार के पाद-बिंदु से 30 मीटर की दूरी पर है ,

मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

हल: CLASS 10 MATHS

माना कि मीनार की ऊंचाई AB =h मीटर है।

मीनार के आधार बिंदु B से 30 मीटर की दूरी पर बिंदु C है ,अर्थात BC=30 मीटर है।

प्रश्नानुसार, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है।

अतः ∠ACB =30°

समकोण त्रिभुज ABC में ,

$tan30^{\circ}=\frac{AB}{BC}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{30}$

$h=\frac{30}{\sqrt{3}}=\frac{30}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$h=\frac{30\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}$

h=10×1.732 (∵ √3=1.732)

⇒h=17.32 मी.(लगभग)

अतः मीनार की ऊंचाई AB =10√3 या 17.32 मीटर है।

प्रश्न 5: भूमि से 60 मीटर की ऊंचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को

अस्थाई रूप से भूमि के एक बिंदु से बाँध दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव

60° है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है ,डोरी की लम्बाई ज्ञात

कीजिए।

हल: माना कि भूमि के Q बिंदु से 60 मीटर की ऊंचाई पर एक पतंग P बिंदु पर उड़

रही है,तथा पतंग की डोरी भूमि पर R बिंदु से बँधी है जो भूमि से 60° का कोण बनाती है।

CLASS 10 MATHS

समकोण ΔPQR में,

$sin60^{\circ}=\frac{PQ}{PR}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{60}{PR}$

$PR=\frac{60\times 2}{\sqrt{3}}$

$PR=\frac{120}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{120\sqrt{3}}{3}$

⇒ PR =40√3

या PR =40×1.732=69.28

अतः डोरी की लम्बाई(PR) 40√3 मीटर या 69.28 मीटर होगी।

त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

प्रश्न 6: 1.5 m लम्बा एक लड़का 30 मीटर ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है।

जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन

कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर

गया है ?

हल: माना कि PQ भवन की ऊंचाई 30 मीटर है जिसके आधार Q से x मीटर की दूरी

पर बिंदु R पर एक लड़का OR खड़ा है जिसकी लम्बाई 1.5 मीटर है।

CLASS 10 MATHS

तब चित्रानुसार ,

OS ∥ RQ तथा OR ∥ SQ

∴ SQ=OR=1.5 मीटर

PS=PQ−SQ

=30−1.5=28.5 मीटर

अब प्रश्नानुसार ,

∠POS =30° तथा ∠PTS=60°

तब समकोण त्रिभुज PSO में ,

$tan30^{\circ}=\frac{PS}{OS}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{28.5}{OS}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{28.5}{x}[\because OS=RQ=x]$

⇒x (या OS)=28.5√3 मीटर

जब लड़का चलकर T बिंदु पर पहुँचता है ,तब

समकोण ΔPTS में ,

$tan60^{\circ}=\frac{PS}{TS}$

$\sqrt{3}=\frac{28.5}{TS}$

$\therefore TS=\frac{28.5}{\sqrt{3}}$

अतः भवन की ओर तय की गई दूरी

OT=OS−TS

$OT=28.5\sqrt{3}-\frac{28.5}{\sqrt{3}}=28.5(\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}})$

$OT=28.5(\frac{3-1}{\sqrt{3}})$

$OT=28.5(\frac{2}{\sqrt{3}})=\frac{57}{\sqrt{3}}$

$OT=\frac{57}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow OT=\frac{57\sqrt{3}}{3}=19\sqrt{3}$

अतः लड़का भवन की ओर 19√3 मीटर की दूरी तक चलकर गया है।

प्रश्न 7: भूमि के एक बिंदु से एक 20 मीटर ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार

मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° है। मीनार की ऊंचाई

ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि AB भवन की ऊंचाई 20 मीटर है। भवन के शिखर बिंदु A पर एक संचार

मीनार AD है। संचार मीनार के तल A और शिखर D के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और

60° है। अर्थात ∠ACB =45° तथा ∠DCB =60° है।

CLASS 10 MATHS

समकोण ΔABC में,

$tan45^{\circ}=\frac{AB}{BC}$

$1=\frac{20}{BC}$

⇒ BC=20 मीटर …(1)

पुनः समकोण ΔDBC में,

$tan60^{\circ}=\frac{DB}{BC}$

$\sqrt{3}=\frac{DB}{20}$ [(1) से]

⇒DB =20√3 मीटर

अब संचार मीनार की ऊंचाई

AD =DB−AB

=20√3−20

=20(√3−1)

=20(1.732−1)

⇒AD=20×0.732=14.64 मीटर

अतः संचार मीनार की ऊंचाई 20(√3−1) मीटर या 14.64 मीटर है।

प्रश्न 8: एक पेडस्टल के शिखर पर एक 1.6 मीटर ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिंदु

से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसी बिंदु से पेडस्टल के शिखर का

उन्नयन कोण 45° है। पेडस्टल की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि पेडस्टल की ऊंचाई BC =h मीटर है जिस पर 1.6 मीटर ऊँची मूर्ति CD लगी है।

साथ ही भूमि के बिंदु A से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसी बिंदु से पेडस्टल

के शिखर का उन्नयन कोण 45° है।

अर्थात ∠BAD =60° तथा ∠BAC =45°

CLASS 10 MATHS

अब समकोण ΔABC में,

$tan45^{\circ}=\frac{BC}{AB}$

$1=\frac{h}{AB}$

⇒AB =h मीटर …(1)

पुनः समकोण ΔABD में,

$tan60^{\circ}=\frac{BD}{AB}$

$\sqrt{3}=\frac{BC+CD}{AB}[\because BD=BC+CD]$

$\sqrt{3}=\frac{h+1.6}{h}$ [(1) से ]

√3 h =h+1.6

√3 h −h=1.6

h(√3−1)=1.6

$\Rightarrow h=\frac{1.6}{\sqrt{3}-1}$

$\Rightarrow h=\frac{1.6}{\sqrt{3}-1}\times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$

$\Rightarrow h=\frac{1.6(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\frac{1.6(\sqrt{3}+1)}{2}$

⇒h=0.8(√3+1)

अतः पेडस्टल की ऊंचाई h =0.8(√3+1)मीटर है।

प्रश्न 9: एक मीनार के पाद-बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और

भवन के पाद-बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50 मीटर

ऊँची हो ,तो भवन की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि AB वह मीनार है जिसकी ऊंचाई 50 मीटर है तथा CD भवन है जिसकी

ऊंचाई h मीटर है।

CLASS 10 MATHS

अब प्रश्नानुसार ,

∠CBD=30° तथा ∠ACB=60° है।

अब समकोण ΔABC में,

$tan60^{\circ}=\frac{AB}{BC}$

$\sqrt{3}=\frac{50}{BC}$

$\Rightarrow BC=\frac{50}{\sqrt{3}}$

पुनः समकोण ΔBCD में,

$tan30^{\circ}=\frac{CD}{BC}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{\frac{50}{\sqrt{3}}}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}h}{50}$

50 =√3 ×√3 h

⇒3h=50

$h=\frac{50}{3}=16\frac{2}{3}$

अतः भवन की ऊंचाई 16⅔ मीटर है।

प्रश्न 10: एक 80 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लम्बाई वाले

दो खम्बे लगे हुए है। इन दोनों खम्बो के बीच सड़क के एक बिंदु से खम्बों के शिखर के

उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° है। खम्बों की ऊंचाई और खम्बों से बिंदु की दूरी

ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि AB व CD दो समान लम्बाई वाले खम्बे है जिनकी लम्बाई h मीटर है।

तथा सड़क पर कोई बिंदु E से खम्बों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और

30° है।

CLASS 10 MATHS

अर्थात ∠AEB=60° तथा ∠CED=30°

तथा AB=CD=h मीटर

प्रश्नानुसार, AD=80 मीटर

पुनः माना कि DE=x मीटर

तब AE =(80−x) मीटर

अब समकोण ΔCDE में,

$tan30^{\circ}=\frac{CD}{DE}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{x}$

$\therefore h=\frac{x}{\sqrt{3}}....(1)$

पुनः समकोण ΔABE में,

$tan60^{\circ}=\frac{AB}{BE}$

$\sqrt{3}=\frac{h}{80-x}$

∴ h= √3 (80−x) ….(2)

समी.(1) व (2) से,

$\frac{x}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}(80-x)$

x =3(80−x)

x=240−3x

x+3x=240

4x=240

$x=\frac{240}{4}=60$

∴DE=x मीटर =60 मीटर तथा

AE =(80−x) मीटर

=(80−60)=20 मीटर

पुनः समीकरण (2) में x का मान रखने पर

h= √3 (80−60)

⇒h =20√3 =20×1.732

अतः h =34.64 मीटर

अतः दोनों खम्बों की ऊंचाई 34.64 मीटर तथा सड़क पर स्थित बिंदु से दोनों खम्बों

की दूरी क्रमशः 20 मीटर व 60 मीटर है।

त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

प्रश्न 11: एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर ऊर्ध्वाधरतः खड़ा है। टॉवर के ठीक

सामने दूसरे तट के एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। इसी

तट पर इस बिंदु से 20 मीटर दूर और इस बिंदु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा

पर स्थित एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है(देखिए आकृति )।

टॉवर की ऊंचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल: माना नहर की चौड़ाई BC =x मीटर है।

तथा टीवी टॉवर की ऊंचाई AB =h मीटर है।

CLASS 10 MATHS

तब चित्रानुसार समकोण त्रिभुज ABC में ,

$tan60^{\circ}=\frac{AB}{BC}$

$\sqrt{3}=\frac{h}{x}$

∴ h =x √3 मीटर। …(1)

पुनः समकोण त्रिभुज ABD में ,

$tan30^{\circ}=\frac{AB}{BD}=\frac{AB}{BC+CD}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{20+x}$

√3h =20+x

समी.(1) से h का मान रखने पर

√3(x√3) =20+x

3x=20+x

3x−x=20

2x=20

∴ x=20/2=10

अतः BC =10 मीटर

समी.(1) में x =10 रखने पर

h =10√3

h=10×1.732=17.32 मीटर

AB=17.32 मीटर

⇒ नहर की चौड़ाई BC =10 मीटर है।

तथा टीवी टॉवर की ऊंचाई AB =17.32 मीटर है।

प्रश्न 12: 7 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण

60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि AB एक केबल टॉवर है तथा CD एक भवन है।

CD के शिखर से AB के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन

कोण 45° है।

CLASS 10 MATHS

तब प्रश्नानुसार,

CD =7 मीटर

∠ACE =60° तथा ∠ECB=45°

चित्र से स्पष्ट है कि

BD∥CE , CD∥BE

अतः BDCE एक समांतर चतुर्भुज है।

∴ CD=BE =7 मीटर

अब समकोण ΔCBD में ,

$tan45^{\circ}=\frac{CD}{DB}$

$1=\frac{7}{DB}$

⇒DB =7 मीटर

∴ CE =DB =7 मीटर

पुनः समकोण ΔAEC में,

$tan60^{\circ}=\frac{AE}{CE}$

$\sqrt{3}=\frac{AE}{7}$

⇒AE =7√3 मीटर

अतः टॉवर AB की ऊंचाई=BE+AE

=7+7√3

=7(1+√3) मीटर

प्रश्न 13: समुद्र तल से 75 मीटर ऊँची लाईट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री

जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° है। यदि लाईट हाउस के एक ही ओर एक

जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो ,तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि 75 मीटर ऊँची लाईट हाउस PQ के शिखर से देखने पर दो समुद्री

जहाजों A व B के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° है,तथा AB =x मीटर है।

CLASS 10 MATHS

तब चित्रानुसार,

∠RPA=30° तथा ∠RPB=45°

परन्तु PR ∥ QA तथा PA तिर्यक रेखा है ,

अतः ∠RPA=∠PAQ =30°(एकांतर कोण)

पुनः PR ∥ QA तथा PB तिर्यक रेखा है ,

अतः ∠RPB=∠PBQ =45°(एकांतर कोण)

अब समकोण ΔPQB में,

$tan45^{\circ}=\frac{PQ}{BQ}$

$1=\frac{75}{BQ}$

⇒BQ =75 मीटर

पुनः समकोण ΔPQA में,

$tan30^{\circ}=\frac{PQ}{AQ}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{75}{AB+BQ}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{75}{x+75}$

x+75=75√3

x=75√3−75=75(√3−1)

x=75(1.732−1)=75×0.732

⇒x=AB=54.90 मीटर

अतः दोनों जहाजों के बीच की दूरी 75(√3−1) मीटर या 54.90 मीटर है।

प्रश्न 14: 1.2 मीटर लम्बी एक लड़की भूमि से 88.2 मीटर की ऊंचाई पर एक क्षैतिज

रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे

का उन्नयन कोण 60° है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर 30° हो जाता है(देखिए

आकृति)। इस अंतराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि 1.2 मीटर लम्बी लड़की की आँख की स्थिति A है।

जब गुब्बारे की स्थिति E है तब उन्नयन कोण ∠BAE=60°

तथा जब गुब्बारे की स्थिति D है तब उन्नयन कोण ∠DAC=30°

चित्र में BE=CD=88.2−1.2=87 मीटर

समकोण ΔABE में,

$tan60^{\circ}=\frac{BE}{AB}$

$\sqrt{3}=\frac{87}{x}$

$x=\frac{87}{\sqrt{3}} ....(1)$

पुनः समकोण ΔACD में,

$tan30^{\circ}=\frac{CD}{AC}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{87}{x+y}$

x+y = 87√3

⇒x =87√3−y ….(2)

समी.(1) व (2) से

$\frac{87}{\sqrt{3}}=87\sqrt{3}-y$

दोनों पक्षों को √3 से गुणा करने पर

87=87×3−√3 y

√3 y=87×3−87

√3 y=87(3−1)

√3 y=87(2)

√3 y=174

$y=\frac{174}{\sqrt{3}}$

$y=\frac{174}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$y=\frac{174\sqrt{3}}{3}$

y = 58√3 मीटर

अतः गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी 58√3 मीटर है।

प्रश्न 15: एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा

एक आदमी एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद

की ओर एकसमान चाल से जाती है। छः सेकण्ड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो

गया। इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि AB मीनार, जिसकी ऊंचाई h मीटर है ,तक राजमार्ग DCB जाता है।

मीनार के शिखर A से D बिंदु पर किसी कार का अवनमन कोण 30° है जो 6 सेकण्ड

बाद C बिंदु पर 60° हो जाता है।

CLASS 10 MATHS

अब समकोण ΔABD में,

$tan30^{\circ}=\frac{AB}{DB}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{DB}$

⇒DB=h√3 ….(1)

पुनः समकोण ΔACB में,

$tan60^{\circ}=\frac{AB}{CB}$

$\sqrt{3}=\frac{h}{CB}$

⇒h=√3 CB ….(2)

समी.(2) से h का मान (1) में रखने पर

DB=√3 CB×√3

DB=3CB

DC+CB=3CB [∵DB=DC+CB]

⇒DC=3CB−CB

⇒DC=2CB

⇒CB=½DC

अर्थात CB दूरी DC की आधी है।

∵ कार समान चाल से चल रही है ,

अतः कार को CB दूरी चलने में लगा समय

=½×DC दूरी चलने में लगा समय

=½×6 =3 सेकण्ड

अतः कार को C बिंदु से मीनार के पाद तक पहुँचने में 3 सेकण्ड लगे।

प्रश्न 16: मीनार के आधार से और एक सरल रेखा में 4 मीटर और 9 मीटर की दूरी पर

स्थित दो बिन्दुओ से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण है। सिद्ध कीजिए

कि मीनार की ऊंचाई 6 मीटर है।

हल: माना कि PQ एक मीनार है जिसकी ऊंचाई h मीटर है।

मीनार के आधार से बिंदु B व A क्रमशः 4 मीटर और 9 मीटर की दूरी पर स्थित है।

CLASS 10 MATHS

पुनः माना कि ∠PBQ =θ है ,

तब प्रश्नानुसार,

∠PAQ=90°−θ [∠PBQका पूरक कोण ]

अब समकोण ΔPQB में,

$tan\theta =\frac{PQ}{BQ}$

$tan\theta =\frac{h}{4}...(1)$

पुनः समकोण ΔPQA में,

$tan(90^{\circ}-\theta) =\frac{PQ}{AQ}$

$cot\theta =\frac{h}{9}[\because tan(90^{\circ}-\theta )=cot\theta ]$

$\frac{1}{tan\theta } =\frac{h}{9}....(2)$

समी.(1) को समी.(2) से गुणा करने पर

$tan\theta \times \frac{1}{tan\theta } =\frac{h}{4}\times \frac{h}{9}$

$1 =\frac{h^{2}}{36}$

⇒h²=36

⇒h=√36

∴ h=6 मीटर

अतः सिद्ध होता है कि मीनार की ऊंचाई 6 मीटर है।

त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

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CHAPTER-9

त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

प्रश्नावली 9.1

प्रश्न 4: भूमि के एक बिंदु से ,जो मीनार के पाद-बिंदु से 30 मीटर की दूरी पर है ,

मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

प्रश्न 9: एक मीनार के पाद-बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और

भवन के पाद-बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50 मीटर

ऊँची हो ,तो भवन की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

प्रश्न 13: समुद्र तल से 75 मीटर ऊँची लाईट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री

जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° है। यदि लाईट हाउस के एक ही ओर एक

जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो ,तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

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